Puede alguien decirme lo que se conoce acerca de la clasificación de abelian transitiva grupos de los grupos simétricos?
Deje $G$ ser un abelian transitiva subgrupo del grupo simétrico $S_n$. Mostrar que $G$ orden $n$.
Gracias por su ayuda!
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azimut
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La siguiente solución sólo las necesidades básicas de la teoría de grupos.
Deje $G$ ser un transitiva abelian subgrupo de $S_n$. Por transitividad, para cada una de las $i\in\{1,\ldots,n\}$ no es un porcentaje ($\sigma\in G$tal que $\sigma(1) = i$. Por lo $\# G\geq n$.
Suponga que $\#G > n$. Luego hay$\sigma, \tau\in G$$x := \sigma(1) = \tau(1)$$\sigma\neq \tau$. Por la segunda condición, hay un $y\in\{1,\ldots,n\}$$\sigma(y) \neq \tau(y)$. De transitividad podemos obtener un$\pi\in G$$\pi(x) = y$.
Ahora $$ \pi\tau\pi\sigma(1) = \pi\tau\pi(x) = \pi\tau(y) $$ y $$ \pi\sigma\pi\tau(1) = \pi\sigma\pi(x) = \pi\sigma(y)\text{.} $$ Porque de $\tau(y) \neq \sigma(y)$, estos dos elementos son distintos. Así, los elementos $\pi\tau\in G$ $\pi\sigma\in G$ no conmuta, lo que se contradice con la condición de que $G$ es abelian.
riza
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La pregunta es contestada por user641 en los comentarios.
- Cada subgrupo de $S_n$ actos fielmente en $\{1,\cdots,n\}$. Esto significa que no hay dos elementos en el subgrupo de actuar como la misma función en este conjunto.
- Un conjunto $X$ en el que un grupo de $G$ actúa transitivamente es una sola órbita. En particular, es isomorfo como un $G$-establecer$^\dagger$ a un coset espacio de $G/H$. Un isomorfismo puede ser obtenida mediante la selección de una $x\in X$ y, a continuación, la construcción de la correspondencia $gx\leftrightarrow g{\rm Stab}_G(x)$ (por lo tanto, aquí $H={\rm Stab}_G(x)$).
- Si $G$ es abelian, entonces cada elemento de a $H$ actúa de la misma manera en $G/H$, por lo que la acción de $G$ sobre el coset espacio de $G/H$ es fiel si y sólo si $H=1$.
Dada nuestra hipótesis, obtenemos $\{1,\cdots,n\}\cong^\dagger G/H$, y en el segundo punto, se sabe que la acción es fiel por la primera viñeta, y por lo tanto sabemos $H=1$ por el tercer punto; por lo tanto hemos demostrado $\{1,\cdots,n\}\cong G/1$, lo $|G|=n$.
($^\dagger $Un morfismos de $G$-conjuntos es una $G$-equivariant también conocido como entrelazamiento mapa, es decir, un mapa de $\phi:X\to Y$ con la propiedad de que $\phi(gx)=g\phi(x)$ todos los $x\in X$$g\in G$. De hecho, $G$- establece así una categoría.)
