La solución de una ecuación cuadrática 9-sistema de ecuaciones

Question

Necesito resolver el siguiente sistema: $$\begin{cases} A^TA=B &(1)\\ A\vec{x}=\vec{y} &(2)\\ \end{casos} $$ Necesito $A$, dado $B$, $\vec{x}$ y $\vec{y}$.

$A$ $B$ son ambos de 3-por-3 matrices; $\vec{x}$ $\vec{y}$ 3-componente de los vectores.

B es por la construcción de un positivo-definida la matriz; $A$ se espera que cerca de $I_3$.

En mi problema, $B$ es en realidad la matriz de definición de la elipsoide medidos durante el procedimiento de calibración de un sensor 3D, y $A$ es la inversa de la matriz sensibilidad (que no es necesariamente simétrica).

Así tenemos 6 independiente, ecuaciones de segundo grado en $(1)$ y 3 independientes, ecuaciones lineales en $(2)$ 9 incógnitas (los coeficientes de $A$).

¿Alguien tiene una idea acerca de cómo proceder para obtener una solución analítica?

Answer 1

Mejor que el QR de la descomposición he sugerido anteriormente, la descomposición SVD podría funcionar. De hecho, dado $$ {\bf A} = {\bf U}\,{\bf \Sigma }\;\overline {\bf V} $$ el sistema anterior se convierte en $$ \left\{ \matriz{ \overline {\bf A} \;{\bf A} = {\bf V}\,{\bf \Sigma }\;\overline {\bf U} {\bf U}\,{\bf \Sigma }\;\overline {\bf V} = {\bf V}\,{\bf \Sigma }^{\bf 2} \,\overline {\bf V} = {\bf B}\quad \Leftrightarrow \quad {\bf B}\;{\rm diagonalizable} \hfill \cr {\bf U}\,{\bf \Sigma }\;\overline {\bf V} \,{\bf x} = {\bf y}\quad \Leftrightarrow \quad \overline {\bf x} \;{\bf V}\,{\bf \Sigma }^{\bf 2} \,\overline {\bf V} \,{\bf x} = \overline {\bf x} \;{\bf B}\,{\bf x} = \overline {\bf y} \;{\bf y} \hfill \cr} \right. $$ de modo que B,x,y no son totalmente independientes (soluciones reales a existir).
De ello se derivan ${\bf \Sigma }$ ${\bf V}$ puede ser obtenido a partir de la normalizado autovalor de la descomposición de ${\bf B}$.
${\bf U}$ es la matriz de rotación que aporta ${\bf \Sigma }\;\overline {\bf V} \,{\bf x}$${\bf y}$.

Answer 2

Sugerencia

Si se multiplica la segunda ecuación por $A^T$ obtener $A^T y = Bx$. Uno más de la multiplicación por $A$ rendimientos $A Bx = B y$. Ahora usted puede resolver de 9 por 9 lineal sistem y comprobar si el cuadrática parte está satisfecho.