Cómo encontrar $\int_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin \frac{x}{2k-1}}{\frac{x}{2k-1}}\mathrm dx$

Question

Estoy tratando de calcular la integral $$ I_n=\int \limits_0^\infty \prod_{k=1}^n \frac{\sin \frac{x}{2k-1}}{\frac{x}{2k-1}}\mathrm dx. $$ (He literatura en esto, si la gente quiere). Nota, podemos escribir la increíble secuencia de $\{I_1,I_2,I_3,I_4,I_5,I_6,I_7\}$ como $$ \bigg\{\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg\}. $$ PERO $I_8\neq \pi/2$, ¿cómo podemos obtener este mismo resultado para $n=1,2,\ldots,7$? Y por qué se desvían en $I_8$? Gracias, en forma integral esta secuencia está representada por $$ \frac{\pi}{2}=I_1=\int\limits_0^\infty \frac{\sin x}{x}\mathrm dx=I_2=\int \limits_0^\infty \frac{\sin x}{x}\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\mathrm dx=I_3=\int\limits_0^\infty \frac{\sin x}{x}\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\frac{\sin \frac{x}{5}}{\frac{x}{5}}\mathrm dx=\cdots $$ Sin EMBARGO, esto no para de $I_8$. El extraño resultado de $I_8$ está dada por $$ I_8= \frac{467807924713440738696537864469}{ 935615849440640907310521750000}\pi\approx \frac{\pi}{2}-2.31\cdot 10^{-11} $$

Nota: se puede calcular $I_1$ mediante la integración wrt parámetro y considerar primero el amortiguado Sine - integral \begin{ecuación} \eta(\lambda)=\int_{0}^\infty e^{-\lambda x}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx. \end{ecuación} Ahora queremos calcular la integral de Dirichlet $I_1$ utilizando el cálculo y $\eta(\lambda)$, \begin{ecuación} I_1=\int_{0}^\infty \frac{\sin x}{x}\mathrm dx. \end{ecuación} mediante la diferenciación de $\eta(\lambda)$. Empezamos por la diferenciación de este para obtener $$ \eta'(\lambda)=\frac{d}{d\lambda} \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx =\int_{0}^\infty \frac{\partial}{\partial \lambda} e^{-\lambda x}\frac{\sin x}{x}\mathrm dx=-\int_{0}^\infty e^{-\lambda x}{\sin x}\ \mathrm dx. $$ Nota, que la aprobación de la diferenciación de fuera de la integral dentro de la integral es permitido ya que la integral es una función continua de x y $\lambda$ para$x\(- \infty,\infty)$ y $\lambda \en (0,\infty)$. Podemos integrar fácilmente esta escribiendo la función seno como la parte imaginaria de una exponencial, que es $$ -\int_{0}^\infty e^{-\lambda x}{\sin x}\ \mathrm dx=-\Im\bigg[-\int_{0}^\infty e^{-\lambda x} e^{ix}\mathrm dx\bigg]=-\Im \bigg[-\int_{0}^\infty e^{-x(\lambda i)}\mathrm dx\bigg]=-\Im{\frac{1}{\lambda-i}}=-\frac{1}{\lambda^2+1}, $$donde yo integrada de la exponencial el uso de las reglas de análisis y usados siguiente $$ -\Im\bigg [\frac{1}{\lambda-i}\bigg]=-\Im \bigg[\frac{1}{\lambda-i}\cdot \frac{\lambda+i}{\lambda+i}\bigg]=-\frac{1}{\lambda^2+1}. $$ Así, podemos ver que \begin{ecuación} \eta'(\lambda)= -\frac{1}{\lambda^2+1}. \end{ecuación} Ahora necesitamos usar integrar esta relación cuidadosamente. Hacemos esto por escrito $$ \int_{\lambda}^{\infty}\frac{\mathrm d\eta}{\mathrm d\xi}\mathrm d\xi=\eta(\infty)-\eta(\lambda)=-\eta(\lambda) $$ desde $\eta(\infty)=0$. Ahora podemos usar esto y el resultado anterior para dar $$ -\eta(\lambda)=\int_{\lambda}^{\infty} \eta'(\xi)\mathrm d\xi=\int_{\lambda}^{\infty} -\frac{1}{\xi ^2 +1}\mathrm d\xi=-(\arctan{\infty}-\arctan{\lambda})=-\frac{\pi}{2}+\arctan{\lambda}, $$ así, podemos ver fácilmente $$ \eta(\lambda)= \frac{\pi}{2}-\arctan{\lambda}. $$ Hemos conjunto $\lambda =0$ y obtener el resultado deseado \begin{ecuación} \eta(\lambda=0)=I_1= \frac{\pi}{2}=\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\mathrm dx. \end{ecuación} Pero, ¿cómo generalizar esto para $I_n$? Muchas gracias..

Answer 1

Aquí es una respuesta parcial, tal vez alguien puede rellenar un poco más. Toda la respuesta, $a_1,a_2,\ldots$ serán constantes positivas. Utilizamos el resultado $$\int_0^\infty \frac{\sen ax}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}{\mathop{\rm sgn}}(a) =\casos{{\estilo de texto\frac{\pi}{2}}&si $a>0$\cr 0&si $a=0$\cr {\estilo de texto-\frac{\pi}{2}}&si $a<0$\cr}$$ junto con identidades trigonométricas y revertir una integral doble para obtener $$\eqalign{\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x}\,dx &=\frac{1}{2} \int_0^\infty\frac{\cos(a_1-a_2)x-\cos(a_1+a_2)x}{x^2}\,dx\cr &=\frac{1}{2} \int_0^\infty\int_{a_1-a_2}^{a_1+a_2}\frac{\sin yx}{x}\,dy\,dx\cr &=\frac{\pi}{4} \int_{a_1-a_2}^{a_1+a_2}{\mathop{\rm sgn}}(y)\,dy\ .\cr}$$ Si $a_2<a_1$ el final integral implica sólo valores positivos de $y$, así que podemos escribir ${\mathop{\rm sgn}}(y)=1$ y tenemos $$\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}a_2\ ;$$ tomando $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{3}$ y dividiendo por $a_1a_2$ da $I_2$. Por otro lado, si $a_2>a_1$ entonces tenemos $$\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}a_1\ ;$$ los dos resultados se pueden resumir como $$\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}\min(a_1,a_2)\ ,$$

A continuación, un cálculo similar da $$\eqalign{\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x} \frac{\sin a_3x}{x}\,dx &=\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{1}{2} \int_{a_2-a_3}^{a_2+a_3}\frac{\sin yx}{x}\,dx\,dy\cr &=\frac{1}{2}\int_{a_2-a_3}^{a_2+a_3} \int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin yx}{x}\,dx\,dy\cr &=\frac{\pi}{4}\int_{a_2-a_3}^{a_2+a_3}\min(a_1,y)\,dy\ .\cr}$$ Si $a_1-a_2-a_3>0$, entonces $\min(a_1,y)=y$ en todo el intervalo de integración y tenemos $$\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\frac{\sin a_2x}{x} \frac{\sin a_3x}{x}\,dx =\frac{\pi}{8}\int_{a_2-a_3}^{a_2+a_3}2y\,dy=\frac{\pi}{2}a_2a_3\ ,$$ y una vez más, tomar las adecuadas $a_1,a_2,a_3$ da $I_3$. Podemos utilizar exactamente las mismas ideas para probar por inducción el siguiente resultado.

Lema. Suponga que $a_1>a_2>\cdots>a_n>0$ y $a_1-a_2-a_3-\cdots-a_n>0$. Entonces $$\int_0^\infty\frac{\sin a_1x}{x}\cdots\frac{\sin a_nx}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}a_2a_3\cdots a_n\ .$$

Desde $$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\cdots-\frac{1}{13}>0\ ,$$ esto demuestra tus resultados por $I_1,\ldots,I_7$. Sin embargo, $$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\cdots-\frac{1}{13}-\frac{1}{15}$$ es negativo, y por lo que el lema no se aplica a $I_8$. Queda por determinar si es o no algo así como estas ideas pueden ser usados para evaluar $I_8$.