Cómo demostrar a $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\alpha_{k}|\lt \infty$, dado que el $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\phi_{k}$ converge ...?

Question

Yo soy la solución de algunos problemas en un texto, me encuentro con esta pregunta. Pensé que no tomará mucho de mi tiempo en ella, pero ese no es el caso.

Pregunta:

Probar que si $\sum \limits_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\phi_{k}$ es convergente cuando $\lim_{k\to \infty}\phi_{k}=0$, $\sum \limits_{k=1}^{\infty}|\alpha_{k}|\lt \infty$

Lo siento por esta pregunta, parece demasiado simple, pero no sé cómo resolverlo. Por favor necesito una sugerencia para esto.

Answer 1

Esta es una gran pregunta!. He aquí un breve bosquejo.

Suponga que $\sum |a_k| = \infty$. Considere la posibilidad de $\phi_k$ s.t. si $\sum_{n_k}^{n_{k+1}} |a_j| < k$,$\phi_k (n) = \frac{1}{k}$$n_k < n < n_{k+1}$. Btw, $k \in \mathbb{N}$ a lo largo.

Lo que sucede a $\sum a_j \phi_k$?

Me cuenta además que el signo de la $\phi_k$ debe coincidir con sus respectivas $a_j$.