$f'(x) = g(f(x)) $ donde $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es suave. Mostrar $f$ es suave.

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es diferenciable y $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es infinitamente diferenciable, es decir $ g \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ donde sabemos que $f'(x) = g(f(x)) $ en $\mathbb{R}$ . Demostrar que $ f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ .

Por lo tanto, tengo que demostrar que $f$ es infinitamente diferenciable, es decir, existen derivadas de todos los órdenes. Puedo suponer por inducción que todas las derivadas de orden menor que, por ejemplo $n$ y tienen que demostrar que el $nth$ existe una derivada para $f$ .

Se me ocurrió esto: $f^{n}(x) = (g \circ f)^{n-1}(x)$ . De alguna manera tengo que demostrar que el $(n-1)th$ derivada para esta función compuesta existe. He intentado utilizar la regla de la cadena, pero parece que se vuelve más fea a medida que sigo tomando más derivadas. Obviamente, tengo que utilizar el hecho de que $g$ es infinitamente diferenciable, así como el supuesto inductivo, aunque no estoy seguro de cómo completar esta línea de razonamiento. Tal vez la inducción ni siquiera es la forma correcta de proceder.

¿Ideas?

Answer 1

Notación: Para cualquier función $h$ dejar $h^{(0)}=h$ y que $h^{(n)}$ sea el $n$ derivada de $h$ para $n\geq 1.$

Supongamos que para algunos $n\geq 0,$ existe un polinomio $ P_n$ en $(2 n+2)$ variables tales que $$f^{(n+1)}=P_n(g^{(0)}(f),...,g^{(n)}(f),\;f^{(0))},...,f^{(n)}).$$ Entonces cada término que aparece en el polinomio del lado derecho es diferenciable (porque $g$ es suave y $f^{(j)}$ existe para $j\leq n+1$ ), por lo que el lado derecho es diferenciable, por lo que $f^{(n+2)}$ existe. El resultado de la diferenciación es $$ f^{(n+2)}=P_{n+1}(g^{(0)}(f),...,g^{(n+1)}(f),\;f^{(0)},..., f^{(n+1)})$$ donde $P_{n+1}$ es un polinomio en $(2(n+1)+2)$ variables.

Answer 2

Supongamos que $f \in C^k$ entonces $f^{(k+1)} = f'^{(k)} = (g \circ f)^{(k)}$ . Desde $g \in C^\infty$ y $f \in C^k$ tenemos que $g \circ f \in C^k$ y, por tanto, que $f^{(k+1)} = (g \circ f)^{(k)} \in C^0$ por lo que se deduce que $f \in C^{k+1}$ . QED

O incluso de forma más sucinta, como señaló John Ma a continuación:

Supongamos que $f \in C^k$ Entonces, como $g \in C^\infty$ tenemos que $g \circ f \in C^k$ y, por tanto, que $f' = g \circ f \in C^k$ . Pero $f' \in C^k \Longleftrightarrow f \in C^{k+1}$ . QED

Answer 3

Nótese que se trata de una ecuación diferencial. La ecuación integral de Picard equivalente es $$ f(x)=f(0)+\int_0^x g(f(t))\,dt $$ A partir de aquí es trivial observar que si $f$ es $C^n$ o mejor, entonces la composición $g\circ f$ también es al menos $C^n$ y por tanto la antiderivada $C^{n+1}$ . Lo que da que $f$ también es $C^{n+1}$ y así sucesivamente.