¿Por qué pensamos que un vector es lo mismo que un operador diferencial?

Question

Estoy leyendo el libro de Frankel La geometría de la física El libro de la geometría diferencial es bastante interesante (al menos por lo que entiendo del índice). En el primer capítulo, se nos presenta la noción de vector tangente a una variedad:

A vector tangente o vector contravariante o simplemente un vector en $p_0 \in M^n$ [donde $M^n$ es una variedad suficientemente "agradable" de n dimensiones], llámela $\mathbf{X}$ asigna a cada coordenada parche $(U, x)$ [donde $U \subset M^n$ y $x=(x^1,\dots,x^n)$ son las coordenadas) manteniendo $p_0$ un $n$ -pareja de números reales

$$(X^i_U) = (X^1_U,\dots,X^n_U)$$

de manera que si $p_0 \in U \cap V$ entonces

$$X^i_V = \sum_j \left(\frac{\partial x^i_V}{\partial x^j_U} \right)_{p_0}X^j_U $$

Hasta aquí está bien, esta es una definición razonable de un vector. Ahora bien, si $f:M^n \to \mathbb{R}$ definimos la derivada de $f$ con respecto a $\mathbf{X}$ :

$$\mathbf{X}_p(f) = D_{\mathbf{X}}(f) = \sum_j \left( \frac{\partial f}{\partial x^j} \right)_p X^j$$

De nuevo, esto tiene sentido. El autor señala que existe una correspondencia uno a uno entre los operadores vectoriales y diferenciales de la forma $\sum_j X^j\left( \frac{\partial}{\partial x^j}\right)_p$ que no es difícil de imaginar. Pero luego el libro dice que

no haremos ninguna distinción entre un vector y su asociado operador diferencial asociado.

¿Qué sentido tiene esto? Entiendo que hay una asociación entre vectores y operadores, y que esto puede ser útil. Pero, ¿por qué no hacemos ninguna distinción? Parece que, aunque sean equivalentes, los dos tienen interpretaciones bastante diferentes.

Answer 1

Hay tres formas habituales de definir los vectores tangentes $v\in T_{p}M$ en colectores abstractos:

• Como operadores lineales $C^{\infty}\left(M\right)\to\mathbb{R}$ que satisface la ley de Leibniz $v\left(fg\right)=f\left(p\right)vg+g\left(p\right)vf$

• Como clases de equivalencia de curvas que satisfacen $\gamma\left(0\right)=p$ , donde dos curvas son equivalentes si sus primeras derivadas a cero coinciden en algún gráfico

• Como asignaciones de tuplas $v_{\varphi}=\left(v_{\varphi}^{1},\ldots,v_{\varphi}^{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ a los gráficos $\varphi$ tal que $v_{\varphi},v_{\psi}$ están relacionados por el jacobiano de $\varphi\circ\psi^{-1}$ .

La razón por la que la primera es tan popular es que no requiere que uno hablar de gráficos de coordenadas: toda la dependencia de las coordenadas está encapsulada en la dependencia del anillo de funciones suaves, $C^{\infty}\left(M\right)$ . Una vez que se ha establecido la buena definición de $C^{\infty}\left(M\right)$ esta definición es realmente libre de coordenadas y está evidentemente bien definida. Esta "limpieza" es sólo una ventaja estética (por supuesto, se puede comprobar que las otras definiciones son perfectamente coherentes y que las tres son equivalentes), pero es una ventaja significativa: es mucho más fácil manejar la conceptos en la DG si mantiene las definiciones lo más limpias posible, incluso si cálculos a veces requieren que uno arregle un gráfico y se ensucie las manos.

Ahora, en cuanto a la interpretación, sostengo que en general, la primera y la segunda segunda definición de arriba son interpretaciones mucho más naturales de de lo que es un vector que la tercera. Mi razonamiento surge de pensar en lo que realmente se puede hacer con un vector en una variedad lisa abstracta.

En un espacio afín, la interpretación natural de un vector tangente es como un desplazamiento - se puede tomar un vector $v$ en un punto $p$ y traducirlo a $p+v$ y esta adición es literalmente una adición de componentes en coordenadas cartesianas, por lo que tenemos una relación muy estrecha con las componentes vectoriales.

Esto no funciona en un colector liso general - se necesita al menos una métrica para que esto tenga algún análogo (el mapa exponencial), e incluso entonces no es cierto que $``p+v"^i=p^{i}+v^{i}$ . En el caso abstracto, los vectores indican una dirección "infinitesimal", que puede formalizarse como una de las dos primeras definiciones que di arriba:

• vectores son los direcciones en el que se pueden diferenciar funciones; o

• vectores son los direcciones en el que se pueden recorrer las curvas.

La imagen que tienes en tu cabeza debería ser la misma que antes - los vectores siguen siendo direcciones con magnitudes unidas a puntos. La diferencia de diferencia es que, como ya no existe una formalización literal de este concepto (desplazamientos en espacios afines), tenemos que elegir una nueva definición formal de lo que es una "dirección"; y creo que aunque la definición de componente es la más familiar en términos de computación no es un buen modelo conceptual.

Answer 2

En este documento de David Hestenes, un moderno defensor de la aplicación del álgebra de Clifford en la física, Hestenes explora parte de su propia frustración con esta identificación. Atribuye a la "fórmula"

$$e_i = \frac{\partial x}{\partial x^i}$$

a Cartan. Hestenes concluye que Cartan no quiso decir esto literalmente (cuando se escribe la derivada como un límite, una diferencia entre puntos no tiene ningún significado) y simplemente lo utilizó como un "dispositivo heurístico". Dado que ninguno de los argumentos posteriores de Cartan se basó en este punto particular de la lógica, no importaba. Hestenes atribuye a los matemáticos posteriores que el sutil sinsentido de la fórmula en cuestión, por muy útil que fuera, llevó a la gente a abandonarla dejando de lado el $x$ , dejando

$$e_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$$

y así nació la identificación de los vectores tangentes y las derivadas parciales. ¿Es esto fiel a la historia? No estoy seguro. Pero es una historia bonita y concisa para contarle a tus hijos que tienen problemas con sus cuentos de geometría diferencial.

De todos modos, Hestenes tiene razones para atacar esta identificación. Es fundamentalmente incompatible con la estructura mayor del álgebra de Clifford (las derivadas parciales conmutan, mientras que el álgebra de Clifford exige un producto cuña de vectores que anticonmuta).

Sin embargo, el álgebra de Clifford aplicada a la geometría diferencial puede, en principio, esquivar limpiamente algunos de los problemas que supone tener que considerar una proliferación de gráficos para conseguir algo útil. Al considerar un isomorfismo entre una variedad típica y una llamada "variedad vectorial", Hestenes convierte los puntos de una variedad en vectores en algún espacio vectorial (en otras palabras, incrusta todo; la naturaleza arbitraria de la incrustación se esquiva al incrustar en un espacio vectorial de dimensión infinita) y es capaz de identificar $x$ como un vector y por lo tanto $\partial x/\partial x^i$ como una cantidad geométrica significativa.

En cualquier caso, lo que quiero señalar es que, aunque la identificación de vectores tangentes y derivadas parciales puede haber tenido buenas motivaciones, priva de poder aplicar el álgebra de Clifford a los problemas de geometría diferencial.

Dado el poder del álgebra de Clifford para describir de forma concisa las cantidades geométricas más allá de los simples vectores, este es un precio no trivial a pagar, en mi opinión. Ser capaz de manejar algebraicamente el espacio tangente no como algo abstracto que contiene vectores, sino como un espacio orientado $k$ -vector llamado pseudoescalera del colector es especialmente potente, por ejemplo. Hace que las cuestiones de los colectores orientables sean triviales porque el pseudoescalar es multivalente para las variedades no orientables . Y cuando se formula así, la orientabilidad se convierte en una de las cosas más naturales del mundo. En comparación con las torpes definiciones que se suelen ver en geometría diferencial, que implican determinantes de mapas de transición y demás, un punto de vista de álgebra de Clifford de la geometría diferencial pone mucho más énfasis en la geometría En mi opinión.

Answer 3

Pues bien, existen numerosas interpretaciones equivalentes de los vectores tangentes y de los espacios tangentes, en las que dada una variedad lisa $M$ , teniendo localmente un gráfico suave $ \phi : U \rightarrow V\subset \mathbb{R}^n $ para $ U \subseteq M $ se pueden definir los vectores tanjent como vectores de la forma $ J_\phi^{-1}(\phi(p))(a_1, a_2,...,a_n) $ para un $ p \in M $ donde $ J_\phi $ es el jacobiano, por lo que es claramente un vector cuando $M$ está incrustado en algún espacio euclidiano. Pero en general se define como dual, es decir, mapa lineal $X_p : C^\infty_p(M) \rightarrow \mathbb{R} $ que satisface la regla de Leibneiz, es decir, para todo $ f , g \in C^\infty_p(M)$ (esto significa que se identifican funciones suaves que son localmente iguales en la vecindad de $p$ ) $$ X_p(fg) = f(p)X_p(g) + g(p)X_p(f) $$ Ahora para $ \phi = (x^1,...,x^n)$ si se definen mapas lineales $\partial/\partial x^i |_p $ como $$ \frac{\partial}{\partial x^i}\Bigg|_p(f) = \frac{\partial (f\circ \phi^{-1})}{\partial x_i}(\phi(p))\ \ \ \text{which is the usual partial derivative} $$ entonces es fácil demostrar que $\{\partial/\partial x^i|_p\} $ span $T_p(M) $ es decir, el espacio vectorial de todos los $X_p$ . Ahora puede identificar $$ J_\phi^{-1}(\phi(p))(a_1, a_2,...,a_n) \sim \sum^n_{i= 1} a_i\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigg|_p $$

Ambas definiciones se utilizan indistintamente en diferentes áreas según la conveniencia, si se busca algún problema analítico entonces la primera es más útil. Sin embargo, la segunda definición tiene hermosas propiedades algebraicas que se utilizan mucho. Esta álgebra de derivación está cerrada bajo operadores diferenciales, y proporciona una base rigurosa de formas diferenciales que pueden definirse como subespacios alternos de productos tensoriales del dual $ T_p(M)^* $ . Puedes conocer muchos de ellos a medida que avanzas. Hay muchas cosas de este tipo que se estudian en la geometría diferencial, donde se hacen tales identificaciones. La cuestión es estudiar las propiedades geométricas de tales objetos sin distinguir si son operadores, vectores, clases de equivalencia de curvas o cualquier otro elemento algebraico abstracto.

Answer 4

Creo que el punto que el autor trata de hacer es que es la única manera sensata de definir un vector en un colector. Cuando se tiene un colector, los vectores son elementos del espacio tangente, pero el espacio tangente cambia de un punto a otro, así que ¿cómo se podría describir una base de vectores $\{ e_i \}$ La única forma sensata de hacerlo es encontrar direcciones independientes en cada punto. Como tenemos un sistema de coordenadas bien definido, podemos garantizar que las direcciones de cambio del sistema de coordenadas en un punto serán linealmente independientes. Estas direcciones pueden representarse con cualquier símbolo, pero los operadores diferenciales $\frac{\partial}{\partial x^i}$ tienen la intención de proporcionar la tasa de cambio de cualquier función (diferenciable) definida en la variedad, a la vez que son una base para el espacio tangente en cada punto. Se puede pensar en el $\frac{\partial}{\partial x^i}$ como direcciones (vectores) o como tasas de cambio a lo largo de las direcciones (operadores diferenciales), lo que sea más útil, pero son sólo eso: una forma de codificar direcciones independientes en cada punto, que depende del sistema de coordenadas elegido.