Demostrar que un mapa es continua

Question

Deje $r:[0,1]\to\mathbb R$ ser una función continua y deje $u_\lambda$ ser la única solución del Problema de Cauchy:

$$\begin{cases}u''(t)+\lambda r(t)u(t)=0,\quad\forall t\in [0,1],\\ u(0)=0,\quad u'(0)=1.\end{cases}$$

Es bien sabido que $(u_{\lambda_n})$ converge uniformemente en $[0,1]$ $u_\lambda$siempre $\lambda_n\to\lambda.$ Definir el mapa de $\tau:\mathbb R\to\mathbb R$ mediante el establecimiento de

$$\tau(\lambda):=\inf\{t\in(0,1]\mid u_\lambda(t)=0\},$$ with the convention $\tau(\lambda)=1$ if $u_\lambda(t)\neq 0$ for every $t\en (0,1]$. Prove then that $\tau$ es continua.

Editar:
ok, así que he estado tratando de trabajar en la sugerencia de Robert. Estoy tratando de demostrar que si $\tau(\lambda_0)=\tau_0<1$ alguna $\varepsilon>0$ pequeñas debo tener $u_{\lambda_0}(\tau_0+\varepsilon)<0$ , pero me parecen ir a ninguna parte más allá de algunos tontos tryings utilizando el valor medio teorema o cosas así.. Donde me estoy perdiendo el punto clave?

Answer 1

Sugerencia: si $\tau(\lambda_0) = \tau_0 < 1$ $\epsilon > 0$ es pequeña, no es $\delta > 0$ tal que $u_\lambda(t) > \delta$ si $\epsilon \le t \le \tau_0 - \epsilon$, mientras que $u_\lambda(\tau_0 + \epsilon) < 0$.

Answer 2

Un par más consejos:

1. El uso de la unicidad de la solución del problema de Cauchy, se observa que la si $u_\lambda(\tau(\lambda)) = 0$, entonces existe algún $\epsilon > 0$ tal que $u_\lambda|_{(\tau(\lambda)-\epsilon,\tau)} > 0$$u_\lambda|_{(\tau,\tau+\epsilon)} < 0$. (¿Por qué no $u$ locales tienen el mismo signo en los dos lados del cero?)
2. Si $u$ es una función continua tal que $u(\tau-\epsilon) > 0$$u(\tau+\epsilon) < 0$, ¿qué se puede decir acerca de la $u$?
3. Desde $r(t)$ es continua, ¿qué se puede decir acerca de la $u_\lambda'(t)$ $t$ lo suficientemente cerca de 0? ¿Que te dice esto acerca de la $u_\lambda$ en, digamos, $(0,\epsilon)$?
4. Si $u_{\lambda}|_{[a,b]} > 0$, ¿qué se puede decir acerca de la $u_{\eta}|_{[a,b]}$ $\eta$ lo suficientemente cerca de a $\lambda$?

Para poner a cada cosa juntos, vamos a $\eta$ ser una pequeña perturbación de $\lambda$, y fijar un muy pequeño $\epsilon$ dependiendo $\lambda$$r$. Uso 4 para mostrar que $u_\eta$ no puede desaparecer en $[\epsilon,\tau(\lambda)-\epsilon]$. Utilice 3 para demostrar que $u_\eta$ no puede desaparecer en $(0,\epsilon)$. Y uso 1 y 2 para mostrar que $u_\eta$ debe desaparecer entre el $(\tau(\lambda)-\epsilon, \tau(\lambda)+\epsilon)$.

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Bueno, más en el punto 1 por la petición.

1. La función de $u \equiv 0$ es una solución para la ecuación diferencial (haciendo caso omiso de las condiciones de contorno). Por la unicidad de las soluciones, si $\exists t_0$ tal que $u_\lambda(t_0) = u_\lambda'(t_0) = 0$, $u_\lambda \equiv 0$ y no puede satisfacer la condición de contorno $u_\lambda'(0) = 1$. Por lo tanto, de una solución para la educación a distancia con el requisito de las condiciones de contorno, en cualquier punto donde $u_\lambda(t_0) = 0$ debemos tener ese $u_\lambda'(t_0) \neq 0$.
2. La costumbre de la regularidad de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias garantía de que $u_\lambda'$ es continua.