$\def\SL{\mathrm{SL}}$
$\def\Z{\mathbf{Z}}$
La respuesta a esta pregunta si es falso, pero sospecho que usted puede tener una lectura errónea de la reclamación original. Estás hablando de la $\Gamma$ hasta conjugación en $\SL_2(\Z)$, pero una variante sería pedir simplemente acerca de $\Gamma$ como un resumen de grupo de isomorfismo. Es muy probable que $\Gamma$ está determinado por la información, debido a que el grupo de teoría aquí es mucho más simple (por ejemplo, si $\Gamma$ es de torsión libre y finito índice de entonces es realmente libre, y el rango está determinado por el índice).
El problema básico para su versión de la pregunta es que $\SL_2(\Z)$ tiene muchos interesantes cocientes (ya que es virtualmente libre) y el dato no es en absoluto suficiente para determinar estos y, por tanto, distinguir los correspondientes subgrupos normales. Probablemente se trata de un simple ejemplo se puede calcular con la mano si el cálculo es tu tipo de cosa.
Recordemos que
$$\SL_2(\Z)/Z(\SL_2(\Z)) = \mathrm{PSL}_2(\Z) = \langle S, T | S^2, (ST)^3 \rangle.$$
Aquí
$$S = \left(\begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{de la matriz} \right),
\qquad
T = \left(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{de la matriz} \right).$$
Voy a elegir a $\Gamma$ normal en $\SL_2(\Z)$ tal que
$$G = \SL_2(\Z)/\Gamma = \langle S, T | S^2, (ST)^3, T^7,\Delta\rangle,$$
por alguna extra de elección de las relaciones $\Delta$. ¿Qué se puede decir acerca de las invariantes en este caso? Primero, supongamos que $G$ no es trivial grupo. Es un ejercicio fácil de muestra que las fuerzas de $S$, $ST$, y $T$ tener órdenes exactas $2$, $3$, y $7$ respectivamente. ¿Qué se puede deducir de esto?
Cualquier elemento en $\SL_2(\Z)$ orden $4$ es conjugado a $S$, pero la imagen de $S$ es distinto de cero, por lo $e_4 = 0$.
Cualquier elemento en $\SL_2(\Z)$ orden $6$ es conjugado a $ST$, pero la imagen de $ST$ es distinto de cero, por lo $e_6 = 0$.
El cociente es el cociente de $\mathrm{PSL}_2(\Z)$, lo $e_4 = -1$.
La imagen de $T$ orden $7$, y de manera similar a la imagen de cualquier conjugado de $T$ orden $7$. Por lo tanto $c_i = 7$ todos los $i$.
Como se señaló, el número de $c_i$ está determinado por el índice.
Tomados en conjunto, su demanda implicaría las siguientes: Cualquier finito cociente de
$$\langle S, T | S^2, (ST)^3, T^7 \rangle$$
está determinado por su orden. Ahora finito de coeficientes de este grupo están bien estudiados;
son conocidos como Hurwitz grupos debido a la relación con los automorfismos de curvas de género $\ge 2$ con la máxima automorphism grupos.
Es un teorema de Higman que $A_n$ es un Hurwitz grupo lo suficientemente grande $n$.
Por Goursat del Lema, se sigue que $A_n \oplus A_m$ es también un Hurwitz grupo para $n > m$ $m$ lo suficientemente grande. Pero luego tenemos los dos siguientes Hurwitz grupos de la misma orden:
$$A_{n}, \qquad A_{n-1} \oplus A_m, \qquad n = |A_m|.$$
