Prueba $\sup(f+g) \le \sup f + \sup g$

Question

Supongamos que $D$ es un subconjunto acotado no vacío de los reales. Sea $f:D \to \mathbb R$ y $g:D \to \mathbb R$ . Definir $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ . Prueba $\sup(f+g)(D) \le \sup f(D) + \sup g(D)$ (demuestre también que $\sup (f+g)$ existe).

Entiendo por qué es así, pero no cómo probarlo. El lado izquierdo es bastante $\sup (f(x)+g(x))$ y el lado derecho es $\sup (f(x) + g(y))$ para $x,\,y \in D$ . Básicamente $f+g$ tiene que utilizar la misma variable y $f(D)+g(D)$ utilizar otros diferentes. Pero no sé cómo hacer para probar esto.

La segunda parte de la pregunta consiste en encontrar un ejemplo concreto en el que se cumpla la desigualdad estricta.

Dejemos que $D=\{a,b\}$ y $f: a \to 1,\, b\to 0, \,g: a \to 0,\, b\to 1$ . $\sup f(D) = 1,\, \sup g(D) = 1,\, \sup f(D) + \sup g(D) = 2.$ $\sup (f+g)(D) = 1$ (si elegimos un, $f+g = 1+0,\, b,\, f+g=0+1$ ).

Answer 1

Considere $x\in D$ . Entonces $f(x)\le \sup f$ y $g(x)\le \sup g$ Por lo tanto $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\le \sup f+\sup g$ . Por lo tanto, $\sup f + \sup g$ es algunos límite superior, pero el menor límite superior puede ser más pequeño.

Su ejemplo de rigor está bien.

Answer 2

Otro ejemplo para < de ( http://people.reed.edu/~davidp/212.2013/handouts/sup_example.pdf )

El pdf no se extiende en esto, pero $\sup f(x) + g(x) = 1 $ en ambos $x = -1, 1$ .
pdf simplemente chagrins sobre $x = 1$ . Pero en $x = -1$ , $f(-1) + g(1) = 1 + 0 = 1$ .

Answer 3

Otro ejemplo para < de Abbott

Los dos lados no suelen ser iguales porque las funciones f y g podrían tomar fácilmente sus valores mayores en diferentes lugares de cada subintervalo. En ejemplo, consideremos que f(x) = x y g(x) = 1 - x en el intervalo [0, 1]. Entonces $\sup\{f(x) : x ∈ [x_{k−1}, x_k]\} = 1$ ,

$\sup\{g(x) : x ∈ [x_{k−1}, x_k]\} = 1$ ,

pero $\sup\{\color{seagreen}{f(x) + g(x) = 1} : x ∈ [x_{k−1}, x_k]\} = \sup\{\color{seagreen}{1}\} = 1 \neq 2$

Answer 4

Para demostrar que $\sup(f+g)\leq \sup(f) +\sup(g)$ Supongamos que $\sup(f)=A$ y $\sup(g)=B$ , donde $A$ y $B$ son el punto más alto de la función $f$ y $g$ respectivamente.

Si añadimos $f$ y $g$ Entonces sólo hay dos posibilidades:

1: Si $A$ y $B$ están en la misma x, entonces $f(x)=A$ y $g(x)=B$ . Entonces, tenemos que $(f+g)(t)=A+B$ . Por lo tanto, $$\sup(f+g)=\sup(f)+\sup(g).$$

2: Si $A$ y $B$ no están en el mismo $x$ entonces $f(p)=A$ y $\ g(q)=B$ . Por lo tanto, $$\sup(f+g)\leq A+B$$

A partir de 1 y 2, tenemos que $$\sup(f+g)\leq\sup(f)+\sup(g).$$