¿Cómo Ramanujan obtener este resultado?

Question

Sabemos Ramanujan tuvo este resultado $$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots }}}=3$$ y él se utiliza la fórmula $$x+n+a=\sqrt{ax+{{(n+a)}^{2}}+x\sqrt{a(x+n)+{{(n+a)}^{2}}+(x+n)\sqrt{\cdots }}}$$ donde $x=2,n=1,a=0$ ,obtenemos el resultado de la primera, pero no sé cómo demostrarlo, me puedes ayudar?

Answer 1

$$(x+n+a)^2 = x^2 + n^2 + a^2 + 2 ¡un + 2ax + 2nx$$ $$= ax + (n+a)^2 + x(x + un + 2n)$$

por lo que $x + n + a = \sqrt{ax + (n+a)^2 + x*(x+n) + n + a)}$

que se puede sustituir por $(x+n) + n + una$ otra vez y otra vez para obtener la secuencia de afirmar las raíces.

La convergencia es debido a que la sucesión es monótona creciente, pero acotada arriba por $x+n+$ para $n > 0$, $a,x \ge 0$ (después de bastante ($k$) iteraciones, $x + k*n + a$ será mayor que 1).