$(\beth_{\omega})^\omega=\beth_{\omega+1}$

Question

Estoy tratando de mostrar que $(\beth_{\omega})^\omega=2^{\beth_\omega}$. Este es un ejercicio de Kunen donde se sugiere para codificar los subconjuntos de a $\beth_\omega$ con funciones de $\omega\rightarrow\beth_\omega$. Cualquier ayuda se agradece.

Gracias,

Cody

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $(A\cap\beth_n)_{n<\omega}$ es una función de $f_A:\omega\to\bigcup_n\mathcal P(\beth_n)$, y que la asignación de $A\mapsto f_A$ es de 1-1.

A continuación, tenga en cuenta que $\mathcal P(\beth_n)$ es en bijection con $\beth_{n+1}$. Revisión bijections para cada una de las $n$, y las utilizan para reemplazar $f_A$ a una función que toma valores ordinales.