No hay un conjunto al que pertenezcan todas las funciones

Question

Quiero probar que "no hay un conjunto al que pertenezca cada función". ¿Puedo abordarlo de la siguiente manera?

Intento No. 1: Que $$F: A \rightarrow B$$ Desde $$F \subset A \times B,$$ se deduce que $$F \in \mathcal {P}(A \times B).$$ Ahora, dejemos $$ \mathcal {P}(A \times B)$$ ser el conjunto de todas las funciones de A a B. Desde $$ \mathcal {P}(A \times B) \subseteq \mathcal {PP}(A \times B),$$ se deduce que $$ \mathcal {PP}(A \times B)$$ es también un conjunto de todas las funciones de A a B. Por lo tanto $$ \mathcal {P}(A \times B)= \mathcal {PP}(A \times B).$$

El intento No. 2 es acercarse a ella por el concepto de la Paradoja de Russel. Entonces debo construir un conjunto de todas las funciones que no son en sí mismas, pero, honestamente, no tengo ni idea de lo que constituye una función que no es en sí misma.

Answer 1

Aquí hay una solución tipo Russell's Paradox:

Supongamos que existe un conjunto $ \mathcal {F}$ de todas las funciones. Considere el siguiente subconjunto de $ \mathcal {F}$ : $$ \mathcal {S} \;=\; \{f \in\mathcal {F} \mid f \text { is not an element of the domain of }f\}. $$ Claramente $ \mathcal {S}$ no está vacía, por lo que existe al menos una función $f$ con dominio $ \mathcal {S}$ (por ejemplo, la función de cero constante). Es $f$ un elemento de $ \mathcal {S}$ ?

Answer 2

Asume la clase de todas las funciones, $ \mathcal F$ es un conjunto, entonces tiene un rango, es decir, algunos $ \alpha $ de tal manera que la clase es un elemento de $V_ \alpha $ (y $ \alpha $ es la mínima), esto no es cierto, ya que la función de identidad de $V_ \alpha $ a sí mismo está en la clase $ \mathcal F$ por lo que debe haber aparecido en un rango superior, contradiciendo la suposición sobre $ \alpha $ .

Para terminar la prueba sólo observamos que una clase es también un conjunto si y sólo si tiene un rango, por lo tanto $ \mathcal F$ es una clase adecuada.