La lógica de primer orden ventaja sobre el segundo fin de lógica

Question

¿Cuál es la ventaja de utilizar la lógica de primer orden sobre el segundo fin de lógica? De segundo orden, la lógica es más expresivo y también hay una forma de superar la paradoja de Russell...

Entonces, ¿qué hace que la lógica de primer orden estándar de la teoría de conjuntos?

Gracias.

Answer 1

Primer orden lógico tiene el teorema de completitud (y el teorema de compacidad), mientras que los de segundo orden, la lógica no tiene este tipo de teoremas.

Esto hace que la lógica de primer orden bastante agradable para trabajar. La teoría de conjuntos se utilizan para transformar otros tipo de teorías matemáticas en primer orden.

Tomemos como ejemplo los números naturales con los Axiomas de Peano. El segundo orden de la teoría (reemplazar el esquema de inducción por un segundo orden axioma) demuestra que no es sólo un modelo, mientras que el primer orden de teoría de modelos de cada cardinalidad y así sucesivamente. Dado un universo de la teoría de conjuntos (por ejemplo, ZFC), podemos definir un conjunto que es un modelo de segundo orden de la teoría, pero todo lo que quiero decir al respecto es en realidad un primer orden de la frase en la teoría de conjuntos, debido a que la cuantificación sobre los conjuntos es de primer orden de la cuantificación en la teoría de conjuntos.

Esto hace que la teoría de conjuntos una especie de intérprete, se tarda un segundo orden de la teoría y dice: "Bueno, voy a ser de primer orden de la teoría y puedo probar este segundo orden de la teoría." y si tenemos que la teoría de conjuntos es consistente, entonces por la integridad tiene un modelo y todos los de orden superior teorías se puede demostrar también son consistentes.

Para leer más:

1. ¿cuál es la relación entre ZFC y la lógica de primer orden?
2. La Lógica de primer Orden frente de Segundo Orden de la Lógica