¿Cuál es la expresión algebraica que se cierre el campo con un solo elemento?

Question

Si la geometría de más de $\mathbb F_p$ significa también el uso de su algebraica de cierre, debe ser muy interesante hablar sobre la clausura algebraica de $\mathbb F_1$ - el campo con un solo elemento.

Vi que el finito extensiones de $\mathbb F_1$ son considerados como $\mu_n$, pero un artículo de Connes et al, dice que es injustificada a pensar en la directa límite de estos. En su artículo, el anillo de grupo de $\mathbb Q[\mathbb Q/\mathbb Z]$ parece mucho. Tal vez sea uno de $\mathbb Q/\mathbb Z$, $\mathbb Q[\mathbb Q/\mathbb Z]$, $\mathbb Z[\mathbb Q/\mathbb Z]$ ?

¿Cuál es la expresión algebraica que se cierre el campo con un solo elemento?

Y entonces, ¿qué es de $\overline{\mathbb F_1} \otimes_{\mathbb F_1}\mathbb Z$? Esta parece una pregunta muy interesante...

Answer 1

La clausura algebraica de F_1 es el grupo de todas las raíces de la unidad, y, tensoring con Z le da al grupo integral anillo Z[mu_infty], o, si se prefiere Z[Q/Z].

Para una lectura de la cuenta (y para el folclore referencias tales como Kapranov-Smirnov) ver Yu. I. Manin "Cyclotomy y geometría analítica sobre F_1" (http://arxiv.org/abs/0809.1564).

Answer 2

Ha habido varias preguntas sobre la mathoverflow sobre el campo con un solo elemento. Por supuesto, como un campo realmente no existe y la discusión debe fray tarde o temprano. Así que aquí es un tipo diferente de respuesta.

Además de campos finitos, que son 0-colectores, sólo hay dos campos que son colectores, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}$. Hay una generalización de la cardinalidad de los colectores y espacios similares, a saber, la geométrica característica de Euler. (Esto es como contraposición homotopy de la teoría de la característica de Euler; son iguales para espacios compactos.) El geométrica característica de Euler de $\mathbb{C}$ es 1, mientras que el geométrica característica de Euler de $\mathbb{R}$ es -1. En este sentido, $\mathbb{C} = \mathbb{F}_1$ mientras $\mathbb{R} = \mathbb{F}_{-1}$.

Funciona bien para algunos de los ejemplos de motivación de la ficticia campo con un solo elemento. Por ejemplo, la característica de Euler de la Grassmannian $\text{Gr}(k,n)$ más de $\mathbb{F}_q$ entonces es uniformemente el Gaussiano coeficiente binomial $\binom{n}{k}_q$.

En esta interpretación, $\mathbb{F}_1$ es algebraicamente cerrado. También es una ecuación cuadrática de la extensión de $\mathbb{F}_{-1}$; la generalización de la cardinalidad de las plazas, como debe ser.