Es $\mathbb{H}P^\infty$ un H-espacio o no?

Question

$\mathbb{R}P^\infty$ H-espacio. $\mathbb{C}P^\infty$ H-espacio. Es $\mathbb{H}P^\infty$ un H-espacio o no?

Answer 1

En primer lugar, voy a hacer la más débil afirmación de que $\mathbb{HP}^{\infty}$ no es , naturalmente, un H-espacio. El natural H-estructuras espaciales en $\mathbb{RP}^{\infty}$ resp. $\mathbb{CP}^{\infty}$ provienen del hecho de que clasifican a clases de isomorfismo de real resp. complejo de la línea de paquetes, lo que naturalmente tienen las estructuras de grupo dada por tomar el producto tensor. Esto ya no se sostiene por quaternionic línea de paquetes desde $\mathbb{H}$ ya no es conmutativa, por lo que ya no hay un obvio candidato natural para un H-espacio de la estructura en $\mathbb{HP}^{\infty}$.

Pero en realidad, no hay H-estructura de espacio en absoluto. La razón es que, como se observa por Alex Youcis en los comentarios, tenemos $\mathbb{HP}^{\infty} \cong BSU(2)$ y, por tanto,$\Omega \mathbb{HP}^{\infty} \cong SU(2)$, por lo que si $\mathbb{HP}^{\infty}$ tenía un H-espacio de la estructura, a continuación, el H-estructura de espacio en $SU(2)$ proveniente de su Mentira estructura de grupo sería homotopy conmutativa por el Eckmann-Hilton argumento. Pero Araki, James y Thomas demostró que no es compacto conectado nonabelian Mentira grupo es homotopy conmutativa como un H-espacio.