encontrar los verdaderos valores de $x$: $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$

Question

Cómo encontrar los verdaderos valores de $x$: $$x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$$

Answer 1

He aquí un enfoque que conduce a un "cerrado fórmula".

Los dos más profundo de las raíces cuadradas se definen sólo, si $x\in[-2,2]$, así que podemos escribir $x=2\cos\theta$ algunos $\theta\in[0,\pi]$. Mi solución se basa en las identidades trigonométricas $$ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}=\cos\frac\alfa2 $$ y $$ \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}=\sin\frac\alfa2 $$ que se mantenga para todas las $\alpha\in[0,\pi]$ (fuera de este rango podemos obtener diferentes signos).

Así $$ \sqrt{2+x}=\sqrt{2+2\cos\theta}=2\cos\frac\theta2, $$ y, a continuación, $$ \sqrt{2-\sqrt{2+x}}=\sqrt{2-2\cos\frac\theta2}=2\sin\frac\theta4=2\cos(\frac\pi2-\frac\theta4). $$ Va en $$ 2\cos\theta=x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=\sqrt{2+2\cos(\frac\pi2-\frac\theta4)}=2\cos(\frac\pi4-\frac\theta8). $$ En el intervalo de $[0,\pi]$ coseno es inyectiva, por lo que podemos concluir que $$ \theta=\frac\pi4-\frac\theta8\Leftrightarrow\theta=\frac{2\pi}9. $$ La única solución real es así $$ x=2\cos\frac{2\pi}9\approx1.53209. $$

Answer 2

La elaboración de algunos sobre lo que @Fredrik Meyer sugirió, uno puede conseguir: $$\begin{align*}x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}\hspace{5pt}&\Rightarrow\hspace{5pt} x^2=2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} x^4-4x^2+4=2-\sqrt{2+x}\\ &\Rightarrow\hspace{5pt}x^8+16x^4+4-8x^6+4x^4-16x^2=2+x\\ &\Rightarrow\hspace{5pt} x^8-8x^6+20x^4-16x^2-x+2=0 \end{align*}$$ El último polinomio puede ser factorizado por darse cuenta de que se desvanece en $x=2$ y a las $x=-1$ a $(x-2) (x+1) (x^3-3 x+1) (x^3+x^2-2 x-1)=0$ (el uso de WA en el final).
Ahora usted puede encontrar muchas raíces - pero tenga cuidado: no todos ellos resolver el problema inicial: cada transición de arriba da supuestos adicionales en $x$: en primer lugar, $x\geq 0$. A continuación, $x^2-2\geq0$ y después de eso $x^4-4x^2+2\leq0$. ¿Por qué?
Todos esos juntos implica que $\sqrt2\leq x\leq\sqrt{2+\sqrt2}$.
El uso de algunos análisis real (o WA :)), uno puede demostrar que no existe una única raíz del polinomio en $(\sqrt2,\sqrt{2+\sqrt2})$.
PD: Este no es el enfoque más limpio y no muy elegante, pero funciona. Estoy casi seguro que lo he visto mucho mejor manera de solucionarlo, pero yo no puedo pensar en nadie ahora.

Answer 3

Aquí es un básico plaza libre enfoque de análisis. Claramente no es el elegante enfoque Dennis Gulko ha visto antes. Considere la función $$f(x)=x-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}.$$ Su dominio es $[-2,2]$, donde es continua y creciente. Desde $$ f(-2)=-2-\sqrt{2+\sqrt{2}}<0<f(2)=2\sqrt{2} $$ existe (teorema del valor intermedio) única (desde $f$ es cada vez mayor) de cero $x_0$$f$. Aquí está un gráfico para confirmar esta afirmación. El uso de una calculadora, uno puede comprobar que $$ f(3/2)<0<f(8/5)\quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2}=1.5<x_0<1.6=\frac{8}{5}. $$ Si quieres ir un poco más allá en la expansión decimal de $x_0$, puede utilizar una dicotomía. O pregunte a Wolfram.

Answer 4

Me gustaría utilizar el cuadrado y el método de orden para que se convierta en un polinomio. El siguiente paso sería encontrar sus verdaderas raíces.