Demostrando $\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_{0}^{1} f_n(x)dx=0$

Question

Si $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones continuas en $[0,1]$ tal que $0\leq f_n\leq 1$ que $f_n(x)\to 0$$n\to \infty$, para cada $x\in [0,1]$, $$\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_{0}^{1} f_n(x)dx=0$$

Tratamos de probar esto sin el uso de cualquier teoría de la medida o cualquier teoremas acerca de la integración de Lebesgue.

Estoy bastante pegado en cuanto a qué método debo utilizar para ir sobre la resolución de esta prueba. Estoy pensando mostrando que el conjunto $A_n=\{x\in[0,1]: f_n(x)\geq \epsilon/2\}$ tiene una medida menor que $\epsilon/2$ de las grandes n. Pero demostrando que, sobre todo, sin la teoría de la medida es bastante duro. Alguien tiene alguna sugerencias?

(Me gustaría agradecer a todos los que ofrecieron ayuda. Todos ustedes fueron fantásticos.)

Answer 1

Desde $f_n(x)\to 0\forall x\in[0,1]$ $f_n$ es continua por lo $|f_n(x)|\le \dfrac{x^\alpha}{n};0\le \alpha\le 1$.

Por lo tanto $|\int _0^1 f_n(x)|\le \int _0^1 |f_n(x)|\le \dfrac{1}{n}\int _0^1x^\alpha=\dfrac{1}{(2n)(\alpha+1)}\to 0$