Contraejemplos, donde la Mediana es fuera de [Modo-Media]

Question

Este artículo está encima de mi liga pero habla acerca de un tema que me interesa, la relación entre la media, la moda y la mediana. Dice :

Se cree ampliamente que la mediana de una distribución unimodal es "por lo general" entre el decir y el modo. Sin embargo, esto no es siempre cierto...

Mi pregunta: ¿alguien puede proporcionar ejemplos de continuo unimodal (idealmente simple) de las distribuciones de donde la mediana es fuera de [modo, media] intervalo? Por ejemplo, una distribución, tales como mode < mean < median.

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Ya hay buenas respuestas por Glen_b y Francis, pero me di cuenta de que lo que me interesa realmente es un ejemplo en el modo < media < mediana o mediana < media < modo (que es tanto la mediana es fuera de [modo, media] Y la mediana es "en el mismo lado", significa de modo (es decir, por encima o por debajo modo)). Puedo aceptar las respuestas que aquí se abre una nueva pregunta o tal vez alguien puede sugerir una solución aquí directamente?

Answer 1

Claro, no es difícil encontrar ejemplos - aun continuo unimodal - donde la mediana no está entre la media y el modo.

1. Considere la posibilidad de $T_1,T_2$ i.yo.d de una distribución triangular de la forma $f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Ahora vamos a $X$ ser una mezcla de 60 a 40$T_1$$-4T_2$.

   La densidad de $X$ tiene este aspecto:

   

   La media está por debajo de 0, el modo en 0, pero la mediana está por encima de 0. Una modificación de menor importancia de esto produciría un ejemplo donde incluso la densidad (en vez de sólo la cdf) fue continuo, pero la relación entre la ubicación de las medidas fue la misma (edit: a ver 3. a continuación).

2. Generalizando, vamos a poner una proporción $p$ ( $0<p<1$ ) del total de la probabilidad en el lado derecho del triángulo y una proporción $(1-p)$ en el lado izquierdo del triángulo (en lugar de la 0.6 y 0.4 teníamos antes). Además, hacen que el factor de escala en la mitad izquierda de la $-\beta$ en lugar de $-4$ ($\beta>0$):

   

   Ahora asumiendo $p>\frac12$, la mediana siempre estará en el intervalo cubierto por el derecho del triángulo, por lo que la mediana se supere el modo (que siempre permanecerán en $0$). En particular, cuando se $p>\frac12$, la mediana será en $1-1/\sqrt{2p}$.

   La media estará en $(p - \beta(1-p))/3$.

   Si $\beta>p/(1-p)$, entonces la media estará por debajo de la modalidad, y si $\beta< p/(1-p)$ la media estará por encima de la modalidad.

   Por otro lado, queremos $ (p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$ para mantener la media por debajo de la mediana.

   Considere la posibilidad de $p=0.7$; esto pone a la mediana por encima de la modalidad.

   A continuación, $\beta=2$ satisfacer $\beta<p/(1-p)$, por lo que la media está por encima de la modalidad.

   La mediana es en realidad en $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$ mientras que la media se encuentra en $\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$. Por tanto, para $p=0.7$$\beta=2$, tenemos el modo < media < mediana.

   (NOTA: Por coherencia con mi notación, la variable en el eje x para ambas parcelas debe ser $x$ en lugar de $t$ pero no voy a volver y arreglarlo.)

3. Este es un ejemplo donde la densidad de la misma es continua. Se basa en el enfoque en 1. y 2. por encima, pero con el "salto" se sustituye con una fuerte pendiente (y, a continuación, toda la densidad volcó sobre 0 porque quiero un ejemplo en el que se ve a la derecha-skew).

   

   [El uso de la "mezcla de triangular densidades" enfoque, que puede ser generado como una mezcla de 3 independiente de la escala de variables de la forma triangular se describe en la sección 1. Ahora tenemos 15$T_1$%, 60$-3T_2$% y el 25$5T_3$%.]

   Como podemos ver en el diagrama anterior, la media está en el medio, conforme a lo solicitado.

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4. Tenga en cuenta que m_t_ menciona la de Weibull en los comentarios (para que la mediana es fuera de la $[\text{mode},\text{mean}]$ intervalo para un rango pequeño de la forma de parámetros $k$). Esto es potencialmente gratificante, ya que es bien conocido unimodal continua y suave) distribución funcional simple formulario.

   En particular, para valores pequeños de Weibull forma de parámetros, la distribución se haga de sesgo, y tenemos la situación habitual de la mediana entre el modo y la media, mientras que para valores grandes de Weibull forma de parámetros, la distribución es de izquierda sesgar, y tenemos de nuevo que "la mediana en el medio" de la situación (pero ahora con el modo en que el derecho más que la media). En esos casos es una pequeña región donde la mediana es fuera de la media, de modo de intervalo, y en el medio de que la media y la moda de la cruz sobre:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   La elección conveniente de valores para la forma de parámetros en los intervalos marcados con (1) y (2) arriba, donde las brechas entre la ubicación-estadísticas acerca de la igualdad -- obtenemos:

   

   Mientras que estos cumplan los requisitos a que, lamentablemente, las tres de la ubicación de los parámetros están tan juntos que no podemos distinguir visualmente ellos (todos caen en el mismo píxel), que es un poco decepcionante-los casos de mis ejemplos anteriores son mucho más separados. (Sin embargo, sí sugiere situaciones para examinar con otras distribuciones, algunas de las cuales podrían dar los resultados que se distinga mejor.)

Answer 2

El siguiente ejemplo es tomado de Jordania Stoyanov del Contraejemplos en Probabilidad.

Dado positivo constante$c$$\lambda$, considere una variable aleatoria $X$ con densidad $$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$$ The mean $\mu$, median $m$ and mode $M$ of $X$ can be found as $$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$$ Note $f(x)$ is a density only if $$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$$ So if we let $c\to1$ then $\lambda\to2$. As a result, if we choose a $c>1$ that's close to $1$ (say $1.0001$), we can find that $\mu>c$ and $M=c$, so median $m$ does not fall between $\mu$ and $M$.

Answer 3

Tome la distribución exponencial con parámetro tasa de una densidad y una exp(-ax) para 0<=x< infinito. El modo es igual a cero. Por supuesto, la media y la mediana son mayores que 0. El cdf es 1-exp(-ax). Así que para la mediana de resolver para exp(-ax)=0.5 x. Entonces ax=ln(0.5) o x = -ln(0.5)/un. Para la media de integrar ax exp(-ax) de 0 a infinito. Tomar a=1 y tenemos una mediana = -ln(0.5)=ln(2) y la media de = 1.

Así que el modo < mediana < media.