Hay un discontinua función que es continua en cada restricción?

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico tal que $X=\bigcup_{n\ge 1}A_n$ $A_n\subset A_{n+1}$ por cada $n\ge 1$.

Hay una función discontinua $f:X\to Y$ (donde $Y$ es otro espacio topológico) de forma tal que $\left.f\right|_{A_n}$ es continua para cada una de las $n\ge 1$?

Intuitivamente creo que esto es imposible, pero mi intuición es siempre en el "bien" de los espacios. Así que, si lo anterior es cierto, probablemente será necesario trabajar con los extraños espacios. Me pueden ayudar a pensar un poco?

Answer 1

Tomar

$$f(x)= \begin{cases} 1, &\text{ if }x>0\\ 0, &\text{ if }x\le 0\\ \end{casos} $$

A continuación, tome $A_n=(-\infty,0]\cup (1/n,\infty)$

$A_n\subset A_{n+1}$, $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\mathbb R$, $f$ es continua en a $A_n$, pero $f$ no es continua en a $\mathbb R$

Answer 2

Tomar una contables espacio topológico $A=(B,\tau)$ cuyo finito subespacios son discretos, pero que en sí no es discreta, por ejemplo, $\mathbb{Q}$ con su habitual topología. Tomar una enumeración de $B$, se $b_n$, y establecer $B_n=\{ b_1,\dots,b_n \}$. Entonces cualquier función de $A$ en cualquier espacio topológico es continua en cada una de las $B_n$. Pero desde $A$ no es discreto, no es un espacio topológico $C$ y una función de $f : A \to C$ tal que $f$ no es continua. (Concretamente, uno puede tomar $C$ a ser el espacio de Sierpinski y $f$ a ser el indicador de la función de un singleton que no está abierto.)

Answer 3

Tomar una enumeración $q_n$$\mathbb{Q}$, y definir $A_n:=\{q_1,\cdots, q_n\}$. Definir $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ $f(x)=1$ si $x \neq 0$, e $f(x)=0$ si $x=0$.