Resolver $x^{2k}+(x-2)^{2k}=2k$ con $k\in \mathbb N$ y $x\in\mathbb{R}^+$

Question

Resolver $x^{2k}+(x-2)^{2k}=2k$ con $k\in \mathbb N$ y $x\in\mathbb{R}^+$ .

No tengo ni idea de cómo resolver esto, sólo puedo encontrar una solución, $x=k=1$ .

Answer 1

Supongamos que $k\ge2$ . En $x=0$ y en $x=2$ El lado izquierdo es más grande que el derecho. En $x=1$ El lado derecho es más grande que el izquierdo. Se deduce que existe una solución con $0\lt x\lt1$ y otra solución con $1\lt x\lt2$ .

Para $k=2$ es una ecuación cuártica, y hay una fórmula para resolverlas (una búsqueda en Internet de "ecuación cuártica" la hará aparecer sin duda). En $k\ge3$ es una ecuación de grado $6$ o superior, y es poco probable que las soluciones puedan expresarse en términos de números enteros, operaciones aritméticas, extracciones de $n$ raíces (o exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas). Puedes acercarte a la solución tanto como quieras por métodos numéricos. Si sabes algo de cálculo, está el método de Newton.