La aparentemente interminable serie de vagas concepciones de "diferenciales" me molestó mucho cuando me enteré de cálculo, hasta el punto de que he gastado una cantidad excesiva de tiempo pensando acerca de todo esto. Usted dice que quiere rigor? OK, entonces vamos a ser precisos.
Como yo lo veo, hay tres genuinamente distintas formas de hacer de la noción de "diferenciales", preciso. Sin embargo, hay una serie de salvedades, las cuales voy a mencionar en la final.
(1) Como "cantidades infinitesimales."
Esta noción puede ser hecha precisa a través de Abraham Robinson "no-estándar de análisis." No voy a entrar más en ello, salvo reiterar que esto es diferente de los próximos dos ideas.
(2) Como una "total derivado."
Este es el concepto explicado por el Compañero de Kosor. La definición exacta es la siguiente:
Definición: Dejar $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ser una función. El (total) diferencial (o total derivado) de $f$ a un punto de $p \in \mathbb{R}^n$ (si existe) es el (único) lineal mapa de $df_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que
$$\lim_{h \to 0} \frac{|f(p +h) - f(p) - df_p(h)|}{|h|} = 0.$$
Decimos que $f$ es diferenciable en a $p \in \mathbb{R}^n$ si tan lineal mapa de $df_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ existe.
Se puede demostrar (no voy a hacer esto) que la definición anterior está bien definido, es decir, hay un tal lineal mapa de $\lambda_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ satisfactorio
$$\lim_{h \to 0} \frac{|f(p +h) - f(p) - df_p(h)|}{|h|} = 0.$$
Es un hecho (que yo también no demostrar) que si $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es diferenciable, entonces (con respecto a las bases canónicas) la matriz de la aplicación lineal mapa de $df_p \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es la matriz Jacobiana:
$$df_p = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial f^m}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n}
\end{pmatrix}$$
Tenga en cuenta que en el caso de funciones con valores de $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, tenemos
$$df_p(h) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x^n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
h_1 \\
\vdots \\
h_n
\end{pmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x^1}h_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x^n}h_n.$$
Destaco este caso especial en el fin de trazar una analogía con la ecuación clásica
$$dy = \frac{\partial f}{\partial x^1}dx^1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x^n}dx^n.$$
Tenga en cuenta también el caso de una función de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. En este caso, el (total) diferencial de $f$ $1 \times 1$ matriz
$$df_p = (f'(p)).$$
Es decir, $df_p(h) = f'(p) h$.
(3) a Través de formas diferenciales.
Esta es la noción que se hace referencia en el primer párrafo de Cristiano Blatter de la respuesta (pero no el resto).
Definición: Un diferencial de $k$-forma en $\mathbb{R}^n$ es una función suave cuyas entradas son los puntos de $p \in \mathbb{R}^n$ y cuyas salidas son alternando $k$-multilineal de las funciones de $\omega_p \colon T_p\mathbb{R}^n \times \cdots \times T_p\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.
Aquí, $T_p\mathbb{R}^n$ es el espacio de la tangente de $\mathbb{R}^n$ en el punto de $p \in \mathbb{R}^n$.
Ejemplos: (tengo que ir ahora, pero voy a llenar esto más tarde.)
Exterior de la diferenciación y de la carta de $d$: (tengo que ir ahora, pero voy a llenar esto más tarde.)
Advertencia: por Desgracia, hay un par de casos donde la notación "$ds$", "$dS$," "$dA$," o "$dV$" en realidad, no es $d$ de nada. Este es el caso de una cierta clase de formas diferenciales llamado "volumen formas", y (a mi entender) es el tema de Chrstian Blatter de la respuesta.
(En el caso de las naciones unidas orientadas a los colectores, esta notación fallo también puede ser rectificada por medio de "densidades." No voy a entrar en eso aquí.)
