Actualmente estoy leyendo la prueba de la existencia de la medida de haar, pero aprender mejor sobre todo por los ejemplos por lo que me gustaría ejemplos de cálculo explícito de la medida de haar en cualquier $Gl(n,R)$ o cualquier grupos de lie y también explique los detalles como no tomar un curso en análisis armónico que quiero entender más lo que está sucediendo explícitamente puesto que entiendo cosas más con ejemplos. Por ejemplo dado alguna matriz en Gl(n,R) quiero ver cálculo hecho en él.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí es un resultado útil en Folland del Moderno Análisis Real.
Deje $G$ ser localmente compacto grupo que es homeomórficos para abrir un subconjunto $U$ $\Bbb R^n$ de tal manera que, si nos identificamos $G$$U$, a la izquierda de la traducción es un afín mapa, es decir, $xy = A_xy+b_x$ donde $A_x$ es lineal y mapa en $\Bbb R^n$$b_x\in\Bbb R^n$. A continuación, $|\det A_x|^{-1}\,dx$ es una izquierda Haar medida en $G$. ($dx$ es la medida de Haar en $\Bbb R^n$.) En particular, si $G$ es una matriz del grupo, a continuación, $|\det A|^{-n}\,dA$ es una medida de Haar, donde $dA$ es la medida de Haar en $\Bbb R^{n\times n}$.
Voy a asumir que $G$ es en realidad un subconjunto de a$\Bbb R^n$, de modo que no tengo que seguir la pista de todos los mapas. Debe hacerlo en general, aunque como un buen ejercicio.
La manera de ver el primer resultado es considerar el Jacobiano de la transformación. Si usted tiene un conjunto medible $S$$G$, entonces la medida de $xS$ no es nada más que la medida de $A_xS$ - nota de que el término afín $b_x$ no contribuye debido a la medida de Haar asociados a $\Bbb R^n$. Por otra parte, ya que tenemos una medida de Haar en $G$, la medida de la $xS$ debe ser la medida de $S$.
Supongamos que la medida de Haar en $G$ es denotado $\mu_x$. Desde $A_x$ es una transformación lineal, la medida de $A_xS$ no es nada más que $|\det A_x|\cdot \mu_x(S)$. Probar esto por ti mismo considerando básicas de los conjuntos de Borel. La única manera de que la medida no va a cambiar (es decir,$\mu_x(xS) = \mu_x(S)$) es que si tenemos que $\mu_x = |\det A_x|^{-1}\,dx$ (donde $dx$ es lo habitual en la medida de Haar en $\Bbb R^n$).
El segundo resultado se sigue de la primera mediante la consideración de las columnas de la matriz de forma independiente. Usted puede ver una $n\times n$ de la matriz como un vector de longitud $n^2$, $A$ actúa de forma natural en la subvectors. En cada pieza, que se toma un factor de $|\det A|^{-1}$, dando un total factor de $|\det A|^{-n}$. El montaje de la matriz de la alargada vector da el resultado.
Desde colectores de no llevar a la integración, naturalmente, pero en su lugar hemos de considerar las imágenes en $\Bbb R^n$ y hacer la integración de ahí, empujando el grupo en $\Bbb R^n$ es bastante natural, de todos modos. Por lo que el análisis anterior funciona bastante bien para la matriz de la Mentira de los grupos.
Aquí está una pregunta relacionada.
