Engañosamente simple desigualdad que implican expectativas de productos de funciones de una variable

Question

Para una prueba a ir a través de un artículo que estoy escribiendo, tengo que demostrar, como auxiliar de paso, el siguiente engañosamente simple de la desigualdad:

$$E(X^a) E(X^{a+1} \ln X) > E(X^{a+1})E(X^a \ln X) $$

donde $X>e$ tiene una distribución continua y $0<a<1$. La intuición, en una frase, es que si empiezas desde

$$E(X^a) E(X^a \ln X) = E(X^a)E(X^a \ln X) $$

"paga más" (en términos de valores esperados) para colocar el agregado $X$ multiplicar grandes cantidades $(X^a \ln X)$ que las pequeñas cantidades de $(X^a)$. Las simulaciones han confirmado la intuición, al menos hasta ahora. Sin embargo, aunque he tratado de probar esto de la desigualdad de los días, el uso de otros conocidos de las desigualdades, así como las relaciones entre las expectativas de los productos, de los productos de las expectativas, y covarianzas, yo no he tenido éxito hasta el momento.

Algo que parece relacionado es que sabemos que

$$E\left(\prod_i^n f_i(X)\right)>\prod_i^nE(f_i(X)) $$

mientras las funciones de $f_1\ldots f_n$ son continuas funciones monótonas de $X$, y todos son, por ejemplo, aumentar y satisfacer $f_i(X)>0$ el (e.g, Juan Gurland "las Desigualdades de las Expectativas de las Variables Aleatorias Derivados por la Monotonía o Convexidad", El Estadístico Americano, de abril de 1968). La desigualdad a la que estoy tratando de demostrar que es, en un sentido, "entre" los dos lados de la desigualdad anterior.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Gracias por la interesante y divertida problema. Aquí está una prueba (creo) a través de la de Cauchy-Schwarz desigualdad. Considere la función $$ f(t) \equiv \frac{ \mathbb E[X^{a+t} \ln X] } { \mathbb E[X^{a+t}] }. $$ Así que el objetivo de la desigualdad es $f(1) > f(0)$. Podemos mostrar esta demostrando $f(t)$ es el aumento o $f'(t) \ge 0$.

Pero esto es fácil, porque $$ \begin{aligned} f'(t) &= \frac{d}{dt} \left( \frac{ \mathbb E[e^{(a+t)\ln X} \ln X] } { \mathbb E[e^{(a+t) \ln X}] } \right) \\ &= \frac{ \mathbb E\left[ \frac{d}{dt} e^{(a+t)\ln X} \ln X \right] } { \mathbb E\left[e^{(a+t) \ln X} \right] } - \mathbb E[ e^{(a+t)\ln X} \ln X ] \frac{ \mathbb E\left[ \frac{d}{dt} e^{(a+t) \ln X} \right] } { \mathbb E[e^{(a+t) \ln X}]^2 } \\ %&= %\frac{ \mathbb E\left[ e^{(a+t)\ln X} (\ln X)^2 \right] } %{ \mathbb E\left[e^{(a+t) \ln X} \right] } %- %\mathbb E\left[ e^{(a+t) \ln X} \ln X \right] %\frac{ \mathbb E\left[ e^{(a+t) \ln X} \ln X \right] } %{ \mathbb E\left[e^{(a+t) \ln X}\right]^2 } \\ &=\frac{ \mathbb E[X^{a+t} (\ln X)^2] \, \mathbb E[X^{a+t}] - \mathbb E[X^{a+t} (\ln X)]^2 } { \mathbb E\left[X^{a+t}\right]^2 } \ge 0. \qquad (1) \end{aligned} $$ El numerador de (1) es no negativa por parte de la De Cauchy-Schwarz desigualdad. Es decir, con $U = X^{\frac{a+t}{2}} \ln X, V = X^{\frac{a+t}{2}}$, tenemos $$ \mathbb E\left[U^2 \right] \mathbb E\left[V^2\right] \ge \mathbb E[U \, V]^2. \qquad (2) $$

Aún sostienen que la igualdad no puede sostener por todos los $t \in [0,1]$, que es fácil.

Alternativa a la de Cauchy-Schwarz desigualdad (2)

Alternativamente, se puede demostrar (1) directamente por la observación de que $$ \mathbb E\left[X^{a+t}(s - \ln X)^2 \right] \ge 0, $$ tiene para todos los $y$ (por la cantidad de promedio es no negativa), es decir, el polinomio cuadrático $$ \begin{aligned} p(y) &= \mathbb E\left[X^{a+t}\right] y^2 - 2 \, \mathbb E\left[X^{a+t} \ln X\right] y + \mathbb E\left[X^{a+t} (\ln X)^2\right] \\ &\equiv A \,y^2 - 2 \, B \, y + C, \end{aligned} $$ no tiene ningún cero. Por lo tanto, el discriminante de $p(y)$,$4B^2 - 4AC$, debe ser no-positivo. Esto significa $AC \ge B^2$, o $$ \mathbb E\left[X^{a+t}\right] \, \mathbb E\left[X^{a+t} (\ln X)^2\right] \ge \mathbb E\left[X^{a+t} \ln X\right]^2. $$

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Además de la discusión

Hay una forma más intuitiva interpretación de (1). Definimos la función característica de a $\ln X$ $$ F(t) \equiv \log \left\{ \mathbb E\left[ X^{a+t} \right] \right\}. $$ Nos encontramos con $f(t) = F'(t)$, e $f'(t) = F''(t) \ge 0$. En otras palabras, (1) es una afirmación generalizada de que la segunda cumulant de $\ln X$ es no negativa en un valor distinto de cero $a+t$.