Repite Factoriales y Repite la Plaza de Enraizamiento

Question

Yo estaba hablando con sus amigos acerca de preguntas tontas que involucran los números que usted puede conseguir con un solo dígito "3" y operaciones unarias. Finalmente nos conjeturó que el uso de sólo factoriales y raíces cuadradas puede ser arbitrariamente cerca de cualquier número mayor que o igual a $1$. Pero estamos teniendo problemas para demostrar o refutar la conjetura.

Precisamente, empiece con la cantidad de $3 dólares. Luego tomar su factorial$m$veces y, a continuación, tomar la raíz cuadrada de su resultado$$n veces. Es decir,$(3!!\ldots !)^{\frac{1}{2^n}}$donde hay$m$factoriales. Deje que el conjunto de los números alcanzable en esta forma será de$X$. Es de$X$denso en$[1,\infty)$?

El único progreso que hemos hecho es mostrar que cualquier intervalo $[x,x^2]$ para $x>1$ no es un punto límite $a \in [x,x^2)$ de $X$. Esto es cierto porque para cualquier $z > x^2$ podemos raíz cuadrada es un número apropiado de veces para llegar en $[x,x^2)$. Podemos hacer esto por una infinidad de puntos de la secuencia de $3,3!,3!!,\ldots$. Y todos los puntos que conseguimos a través de este proceso son distintos. Deje que $F(m)$ $3$ $m$ factoriales. Si $F(m)^{\frac{1}{2^n}} = F(a)^{\frac{1}{2^b}}$, entonces podemos plantear cada lado a una potencia y obtener una expresión de la forma $F(m) = F(a)^{\frac{1}{2^c}}$. Pero factoriales no son cuadrados. (Para ver esto por $q!$, tenga en cuenta que hay un prime en $[p/2,p]$ por bertrand postulado. Este primer aparece sólo una vez en la factorización de $p!$). Así que todos los números que obtenemos son distintos. Tenemos una infinidad de puntos distintos en $X \cap [x,x^2)$ y por lo tanto no es un punto límite.

Aparte de eso, no tenemos idea de nada. Se siente como $X$ debe ser densa. Considere la posibilidad de algún intervalo $[x,x^2]$. Tomar un montón de factoriales de $3 dólares. A continuación, tomar las raíces cuadradas de los que hasta que cae en$[x,x^2]$. Se siente como la de puntos que se obtiene será algo distribuidos de manera uniforme alrededor de$[x,x^2]$ y por lo tanto densa.

Answer 1

Una relacionada con el conjetura es publicado en este enlace-de que, con el piso de la función usted puede obtener todos los productos naturales. Recuerdo haber visto una prueba de que la versión con $\pi$ en lugar de $3 dólares de hace un tiempo, pero no lo encuentro ahora.