En el Pell-like $Ax^2-By^2 = 1$

Question

Esto está relacionado con el puesto, ¿Mera coincidencia? (factores primos) . Estaba mirando el conjunto de datos de NeuroFuzzy y me di cuenta de la línea,

{{{1, {4, 2}}, {1, 4, 2, 4, 2}, 23762}}

Parece que esto podría generalizarse. ¿Es cierto que dada la ecuación

$$(n+1)x^2-ny^2 = 1\tag{1}$$

entonces sus soluciones vienen dadas por,

$$\frac{y_1}{x_1} = 1+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2}} = \frac{4n+3}{4n+1}\tag{2}$$

$$\frac{y_2}{x_2} = 1+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2}}}} = \frac{16n^2+20n+5}{16n^2+12n+1} \tag{3}$$

y así para todos $x_i, y_i$ ? Supongo que está relacionado con el hecho de que,

$$\sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2n+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}\tag{4}$$

y truncando $(4)$ en los puntos periódicos correctos, ¿correcto?

Answer 1

Aquí $$ \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) $$ será una solución de $$ (n+1) x^2 - n y^2 = 1. $$

Tenemos un "automorfo" o generador del grupo de automorfismo o grupo de isometría o grupo ortogonal de la forma cuadrática binaria indefinida representada; la forma es $ (n+1) x^2 - n y^2. $ $$ A = \left( \begin{array}{cc} 2n+1 & 2 n \\ 2n+2 & 2n+1 \end{array} \right) , $$ et

$$ \left( \begin{array}{cc} 2n+1 & 2 n \\ 2n+2 & 2n+1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4n+1 \\ 4n+3 \end{array} \right), $$

$$ \left( \begin{array}{cc} 2n+1 & 2 n \\ 2n+2 & 2n+1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 4n+1 \\ 4n+3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 16n^2 +12n+1 \\ 16 n^2 + 20 n + 5 \end{array} \right), $$

$$ \left( \begin{array}{cc} 2n+1 & 2 n \\ 2n+2 & 2n+1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 16n^2 +12n+1 \\ 16 n^2 + 20 n + 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 64 n^3 + 80 n^2 + 24 n + 1 \\ 64 n^3 + 112 n^2 + 56 n + 7 \end{array} \right), $$

$$ \left( \begin{array}{cc} 2n+1 & 2 n \\ 2n+2 & 2n+1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 64 n^3 + 80 n^2 + 24 n + 1 \\ 64 n^3 + 112 n^2 + 56 n + 7 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 256 n^4 + 448 n^3 + 240 n^2 + 40 n + 1 \\ 256 n^4 + 576 n^3 + 432 n^2 + 120 n + 9 \end{array} \right), $$

y así sucesivamente. Excepto por $\pm$ firmar estos son todos.