Conexión de $\lbrace z\in\mathbb{C} : |z^2+az+b|<r\rbrace$

Question

¿Cuáles son los valores de $r$ para el que el conjunto $$\lbrace z\in\mathbb{C} : |z^2+az+b|<r\rbrace$$ ¿está conectado? Aquí $a,b\in\mathbb{C}$ et $r\in\mathbb{R}$ .

Answer 1

Considere $D_s=\{z\in\mathbb C\,\mid\,|z^2-1|\lt s\}$ para algunos $s\gt0$ .

• En primer lugar, supongamos que $s\gt1$ . Si $z$ está en $D_s$ , $z^2$ et $0$ están ambos a una distancia $\lt s$ de $1$ de ahí $tz^2+(1-t)0$ también está a distancia $\lt s$ de $1$ para cada $t$ en $[0,1]$ . Así, si $z$ está en $D_s$ entonces $\sqrt{t}z$ está en $D_s$ para cada $t$ en $[0,1]$ . Esto demuestra que $D_s$ tiene forma de estrella con centro $0$ y, en particular, que $D_s$ está conectado.
• Supongamos ahora que $s\leqslant1$ . Entonces, $1$ et $-1$ están en $D_s$ pero la distancia entre $1$ y cada punto del eje imaginario es al menos $1$ Por lo tanto $D_s$ no contiene $z$ tal que $\arg(z)=\pm\pi/4$ . Así $D_s$ no está conectado.

Volver al dominio $T=\{z\in\mathbb C\,\mid\,|z^2+az+b|\lt r\}$ Obsérvese que $z^2+az+b=w^2-c^2$ con $w=z+a/2$ et $c^2=(a^2/4)-b$ . Si $c=0$ , $T$ es el disco de la ecuación $|z+a/2|^2\lt r$ con centro $-a/2$ y radio $\sqrt{r}$ que está conectado. Si $c\ne0$ , $T$ se define por $|v^2-1|\lt s$ con $s=r/|c|^2$ et $v=w/c$ . La transformación $z\mapsto v$ es afín e invertible, por lo que $T$ es conexo si y sólo si $D_s$ está conectada, lo que ocurre si y sólo si $s\gt1$ es decir $r\gt|c|^2$ .

En resumen, el dominio $T$ es conexo si y sólo si $T$ tiene forma de estrella con centro $-a/2$ sólo si $4r\gt|a^2-4b|$ .

Answer 2

$r>|(z+a/2)^2-(a^2/4-b)|\ge |(z+a/2)^2|-|(a^2/4-b)|$ Así que $r+|(a^2/4-b)|\ge |(z+a/2)^2|$ Ahora, $|(z+a/2)^2|$ es un círculo con centro en $-a/2$ y radio $r+|(a^2/4-b)|$ así que $r+|(a^2/4-b)|\ge 0$ da la conectividad.

Answer 3

Siguiendo a @Patience es posible simplificar la pregunta original. $$ r>|z^2+az+b|=|(z+a/2)^2-(a^2/4-b)|. $$ Denote $w:=z+a/2$ et $c:=a^2/4-b$ . La traslación no modifica la conectividad, por lo que basta con considerar el conjunto $$ \{w\in\mathbf{C} : |w^2-d|<r\}. $$ El caso $d=0$ es fácil, por lo que podemos suponer que $d\neq 0$ . Denotemos $w:=u\sqrt{d}$ . La dilatación no modifica la conectividad, por lo que basta con considerar el conjunto $$ \{u\in\mathbf{C} : |u^2-1|<r/d=:R\}. $$ En este momento no tengo más idea, pero espero que alguien más pueda seguir esto. O, tal vez, esto es bien conocido, y la respuesta se puede encontrar en un libro de teoría de funciones complejas.