Por favor, me permite divagar un poco.
Todos mis anillos conmutativos con $1$.
He hecho dos semestre de la pena de álgebra conmutativa; en particular, una de 3er año de licenciatura sujetos llamados "Anillos, Módulos y Campos" enseñado a partir de los apuntes de clase (principalmente nos miró a ED, PID, y UFD), y un nivel de maestría curso llamado "Conmutativa y Álgebra Multilineal", impartido de Atiyah-Macdonald. Después de dos semestres de este material, yo todavía no lo entiendo. Oh, quiero decir, tengo algunas cosas básicas. Elementos irreductibles en el PID del inducir la máxima ideales. El número teórico del concepto de un mcd es generalizada por el anillo-teórico de la intersección de los ideales. Artinian implica noetherian, etc.
Entiendo algunas cosas básicas.
Pero todavía no lo consigue .
Honestamente, ¿qué demonios estamos haciendo incluso?
Bueno, tal vez eso es un poco injusto. Álgebra conmutativa es enorme; no hay una cosa que estamos haciendo.
Pero de todos modos, aquí está mi problema:
Problema 0. Cada vez que intento usar anillos conmutativos a hacer nada, literalmente, nunca funciona.
Por ejemplo, soy un gran fan de el fin de la teoría y la celosía de la teoría, y tiendo a pensar elementales de la teoría de números en el orden de la teoría de términos. Así mcd es cumplir, lcm es unirse, etc. Sin embargo, los intentos de utilizar las rejillas y el fin de entender conmutativa anillos parecen no funcionar tan bien para mí. He aquí un ejemplo. Alguien hace una pregunta básica acerca de la teoría de números. Tal vez quieran probar algo básico sobre coprimality. Creo que a mí mismo: cool, voy a formular esta en el anillo de la teoría de los términos y presente un máximo de solución general. Un par de horas más tarde, he cocinado nada menos que tres posibles definiciones de coprimality. No tengo idea de cual usar, y ahora estoy atascado. Luego, en el transcurso de las próximas semanas o meses, que al final me de cuenta de que hay al menos $3$ más de las definiciones posibles de la coprimality. Que (al menos) $6$ definiciones. Seis! ¿No es esto sólo un concepto? En el final, no me acaban de contestar los de la persona en cuestión, y al final simplemente se sienten frustrados.
Problema 1. Yo no sé realmente qué tipo de estructura de los ideales de la forma.
Deje $R$ denotar un anillo y $\mathcal{I}(R)$ denotar su poset de ideales. Queremos ver esto como un functor. Hay dos maneras de hacer esto; la forma covariante, y el contravariante. Cual es la manera correcta? De cualquier manera, el codominio de $\mathcal{I}$ va a ser mucho más que un poset. Para uno, que va a ser un completo entramado. También, podemos multiplicar los ideales. Esto nos permite definir $A/B$ tiene el supremum entre todos los ideales de a $C$ tal que $BC \subseteq A$. De repente, parece que nos estamos haciendo conmutativa residuated entramado de la teoría. O estamos tratando con conmutativa quantales? Alguna otra estructura, tal vez? Cómo diablos se le hizo pensar acerca de $\mathcal{I}$, de todos modos? Me gustaría ser capaz de describir los $\mathcal{I}$ como izquierda-adjoint a algún tipo de olvidadizo functor. Ideas, cualquier persona?
Problema 2. Yo no se hasta qué punto los ideales deben comportarse como enteros.
Por ejemplo, ¿qué tan importante es para un anillo para la satisfacción de las $(A+B)(A \cap B) = AB$? Yo, sinceramente, no tengo ni idea, pero si yo estaba tratando de axiomatize el número de la teoría de los números enteros, probablemente me incluir $\mathrm{gcd}(a,b)\mathrm{lcm}(a,b) = ab$ como un axioma. Se trata simplemente de un color rojo-arenque? Honestamente, no puedo decir.
Y podría seguir, pero estoy esperando ya ustedes están recibiendo la esencia general de la cuestión por ahora. Esta "pregunta" se puede resumir muy sucintamente como una súplica:
Pregunta. No tengo anillo de la teoría. O al menos, no los puedo usar hacer nada. ¿Qué estoy haciendo mal? Por favor, ayudar.
