¿Por qué sólo hay límites y colímites?

Question

Parte de mi intuición sobre la construcción de límites y colímites se basa en la idea de que son objetos iniciales y terminales en la categoría adecuada: El límite de un diagrama $D$ es, por supuesto, un objeto final en la categoría de conos sobre $D$ , y de forma similar para los colimits y los cocones. La parte que no entiendo es que parece que hay cuatro opciones aquí, y sólo dos se discuten comúnmente:

$$\begin{array}{c|cc} & \text{Terminal} & \text{Initial} \\ \hline \text{Cones} & \text{Limit} & ?? \\ \text{Cocones} & ?? &\text{Colimit} \end{array}$$

¿Qué es lo que rellena los espacios en blanco y por qué se hace menos hincapié en ellos? Parece que queremos objetos finales cuando las flechas salen "de algo" y objetos iniciales cuando entran "en algo", lo que vagamente tiene sentido pero no parece satisfactorio. Los productos son, por supuesto, importantes. Por otra parte, nada impide pedir un inicial objeto en alguna categoría de vanos, pero los libros (hasta donde he leído, que sólo se refiere a lo básico) nunca los mencionan. ¿Hay alguna razón?

Answer 1

He aquí una de las varias formas equivalentes de pensar en los límites y colímites en la que no se plantea esta cuestión: para un diagrama $J$ y una categoría $C$ existe un functor diagonal natural $C \to C^J$ . Si los límites de la forma $J$ siempre existen en $C$ se organizan en un adjunto derecho para este functor, y si los colímites de la forma $J$ siempre existen en $C$ se organizan en un adjunto izquierdo para este functor. Y eso es todo.

Answer 2

Si una categoría tiene un objeto inicial $0$ , entonces cada diagrama tiene un único cono con punta $0$ y este cono es inicial entre todos los conos. Por lo tanto, no son interesantes. Los conos terminales son los interesantes.