Si $E/F$ es algebraica y cada $f\in F[X]$ tiene una raíz en $E$, ¿por qué es $E$ algebraicamente cerrada?

Question

Supongamos $E/F$ es una extensión algebraica, donde cada polinomio sobre $F$ tiene una raíz en $E$. No es claro para mí por qué el $E$ realidad es algebraicamente cerrado.

He intentado hacer lo siguiente, pero creo que no es correcta:

Dejo $f$ ser un polinomio irreducible en $E[X]$. Dejo $\alpha$ ser una raíz en algunos de extensión, por lo $f=m_{\alpha,E}$. Desde $\alpha$ es algebraico sobre $E$, también es algebraico sobre $F$, vamos a $m_{\alpha,F}$ es mínimo polinomio. Yo ahora deje $K$ ser una división de campo de la $m_{\alpha,F}$, que es una extensión finita, ya que cada raíz tiene grado finito $F$.

Si $m_{\alpha,F}$ es separable, entonces $K/F$ es también separable, así como finito, separables de extensión, podemos escribir $K=F(\beta)$ para algunos primitivo elemento $\beta$. Por supuesto, $m_{\alpha,F}$ tiene una raíz en $E$, se $r$. A continuación, podemos incrustar $F(\beta)$ a $r$ mediante la asignación de $\beta$$r$. De ello se desprende que $m_{\alpha,F}$ se divide en $E$. Desde $f\mid m_{\alpha,F}$, también debemos tener el $f$ se divide en $E$.

Pero, ¿qué sucede si $m_{\alpha,F}$ es no separable? En tal caso, $F$ debe tener la característica $p$. Sé que podemos expresar $m_{\alpha,F}=g(X^{p^k})$ para algunos irreductibles, separables polinomio $g(X)\in F[X]$. Pero no estoy seguro de lo que sigue después de eso.

PD: he de decir $E$ es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante en $E[X]$ tiene una raíz en $E$.

Answer 1

Esta es una reciente qual pregunta en mi escuela. :)

Si $F$ no es perfecto, decir que tiene características de las $p$. Deje $F_{perf}$ ser la extensión de $F$ obtenido por la que se adhiere a la raíz de $x^{p^n}-a$ por cada $n \in \mathbb N, a \in F$. Desde estos polinomios son puramente inseparable, $F_{perf}$ incluye (a través de un único isomorfismo) en $E$, y podemos identificar a $F_{perf}$ con su isomorfo copia en $E$.

Dos hechos para que usted compruebe: $F_{perf}$ es un campo perfecto, y cada elemento de a $F_{perf}$ es una raíz de $x^{p^n}-a$ algunos $n \in \mathbb N$$a \in F$.

Ahora vamos a $f$ ser un polinomio con coeficientes en $F_{perf}$, decir $f(x) = x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \cdots + a_0$. A continuación, para lo suficientemente grande $n$, $a_i^{p^n} \in F$ para todos los $i$. Así $$f^{p^n}(x) = x^{k p^n} + a_{k-1}^{p^n} x^{(k-1)p^n} + \cdots + a_0^{p^n} \in F[x],$$ which has a root in $E$ by assumption. But $f$ and $f^{p^n}$ have the same roots, hence $f$ has a root in $E$. So without loss of generality, we may assume $F = F_{s}$, y Bruno la respuesta que nos da el resto del camino.

Answer 2

Nota: siéntase libre de ignorar la warzone en los comentarios; no es realmente relevante más.

Si $F$ es perfecto, podemos proceder de la siguiente manera. Deje $f$ ser un polinomio con coeficientes en $F$. Deje $K/F$ ser una división de campo para $f$. A continuación, $K=F(\alpha)$ algunos $\alpha \in K$. Deje $g$ ser el polinomio mínimo de a$\alpha$$F$. A continuación, $g$ tiene una raíz en $E$ por hipótesis, por lo tanto $E$ contiene una copia de $F(\alpha)$, es decir, una división de campo para $f$.

Por lo tanto todos los $f\in F[X]$ se divide en $E$. Ahora me reclama que $E$ es algebraicamente cerrado. Deje $E'/E$ ser una extensión algebraica y deje $\beta \in E'$. Por transitividad, $\beta$ es algebraico sobre $F$; deje $h(X)$ ser su mínima polinomio sobre $F$. Por lo anterior, $h$ se divide en $E$, y por lo tanto $\beta \in E$. Por lo tanto $E$ es algebraicamente cerrado.