¿Cómo definir tuples?

Question

Como usted probablemente sabe, puede definir $2$-tuplas $(x_1,x_2)$$\{\{x_1\},\{x_1,x_2\}\}$; a continuación, puede definir $n$-tuplas $(x_1,x_2\ldots,x_{n})$$((x_1,x_2\ldots,x_{n-1}),x_n)$.

En alternativa, puede definir los pares ordenados $\langle x_1,x_2\rangle$ $\{\{x_1\},\{x_1,x_2\}\}$ (nótese el uso de "pares ordenados" en lugar de "$2$-tuplas" y el uso de corchetes en lugar de la ronda); a continuación, puede ver $n$-tuplas como secuencias finitas, que es funciones cuyo dominio es el conjunto de números naturales de $1$ $n$y cuyo codominio es el conjunto $\{x_1,\ldots,x_n\}$. Por lo $n$-tuplas son conjuntos tales como $\{\langle 1,x_1\rangle,\ldots\langle n,x_n\rangle\}$; $0$-las tuplas se define como el conjunto vacío.

La primera definición no es tan rigurosa (ver el uso de puntos) y sólo funciona para $n\geq 2$. La segunda definición es riguroso y funciona para todos los $n$, pero luego al final tener pares ordenados y $2$-tuplas diferentes objetos; esto también implica que usted tiene dos tipo de productos cartesianos, dos tipos de relaciones binarias, dos tipos de funciones y así sucesivamente.

Hay una manera de evitar este tipo de problemas? Hay otra definición mejor para $n$-tuplas?

Gracias.

Answer 1

Mi punto de vista es que no hay ningún problema inherente en el uso de la construcción. Si usted adopta un mínimo de categórico idioma, entonces usted puede definir el conjunto de pares ordenados de cualquier manera, a continuación, defina function as subset with extra properties', define composition. Until that point you have no way of comparing sets, so cannot say within the language that the two Cartesian products are different (Can one say different before one can sayel mismo'?) La categórica punto es entonces que el "producto" se define por una característica universal y así se determina hasta el isomorfismo (bijection) única, por lo tanto el hecho de tener dos modelos diferentes con la misma propiedad no es la gran cosa.

Puede que no desee introducir categórica idioma, pero dándose cuenta de que no hay ningún problema y que el conjunto teórico de las ideas no puede decir la diferencia entre los dos "diferentes" pero bijective establece que parece ser un paso hacia una solución a su dilema.

Answer 2

Algunas personas tienen que ocuparse de esos detalles, al menos en el contexto inusual, y yo creo que es en general vale la pena ser consciente de sus fundaciones. Los detalles de la definición de pares ordenados es crucial en Quine Nuevas Fundaciones (por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations#Ordered_pairs), y tomando como primitivo puede tener real del conjunto teórico consecuencias en NF. En la Iglesia inéditos suplemento de su "Teoría de conjuntos con un Conjunto Universal," utiliza deliberadamente feo [mi interpretación] definición de la m-tupla para evitar colisiones. En mi seguimiento en el trabajo, tengo la costumbre Kuratowski definición de pares ordenados, ya que su estructura interna me permitió modelar el singleton función como un conjunto, ya que es un 2-clase de equivalencia, por una generalización de la definición de la Iglesia de j-las relaciones de equivalencia.

Answer 3

Si usted realmente quiere conseguir en usted también puede comprobar Nicolas Bourbaki "Théorie des ensembles". Teoría de la categoría también puede dar una respuesta a esta pregunta, pero creo que es demasiado para tal pregunta. Pero si utiliza teoría de conjuntos como un instrumento, sólo puede poner en la indistinguibilidad de isomorfas entidades hasta un sistema algebraico de elegido (según otros).

Answer 4

Creo que la verdad es que a nadie le importa. Quiero decir, usted se preocupa por los asuntos un poco, mientras que el aprendizaje de cómo la teoría de conjuntos puede ser utilizado como una base para las matemáticas, pero pronto deja de ser de alguna importancia. En la práctica, la una cosa importante acerca de n-tuplas de la relación entre la n-tupla y sus componentes, es decir, el hecho de que dos de n-tuplas son iguales si y sólo si tienen los mismos componentes en el mismo orden.

Si usted no aprende a dejar de preocuparse de tales minucias, usted tendrá muchos más problemas como aprender acerca de los sistemas de numeración. ¿Cuál es el número 3, realmente? Podría ser el ordinal {0,1,2} (es decir,, {∅,{∅},{∅,{∅}}}), o podría ser el número entero 3 representa como una clase de equivalencia {(m,n):m=n+3} de pares ordenados de números ordinales, o podría ser el número racional 3 representa como una clase de equivalencia {(p,q):p=3t, q≠0} de pares ordenados de números enteros, o podría ser el número real 3 representado por cualquiera que sea su método de definición de los números reales de pasar a ser, o incluso podría ser el número complejo representado como un par de números reales (3,0) ... espero que me entiendes. Cada vez que ampliar el número del sistema, y, a menudo, cuando se generaliza alguna noción o de otro, el nuevo contiene una isomorfo copia de la edad y nadie se preocupa de distinguir entre las copias.

Esta práctica de identificación tiene sus peligros, por supuesto, así que es bueno que te preocupes por esas cosas un poco, mientras que el aprendizaje, pero se espera que tales asuntos a perderse en el fondo con el fin de hacer espacio para las cosas más importantes.

(Para lo que vale, creo que el método en su segundo párrafo que es bueno, pero tener dos tipos de pares ordenados pronto dejará de molestarte.)