Nonabelian grupo con todas las representaciones irreducibles unidimensionales

Question

Todas las representaciones irreducibles de un grupo abelian son unidimensionales. Para un grupo finito, lo coverse también es cierto - si todas las representaciones irreducibles son unidimensionales, entonces, el grupo es abeliano.

¿Hay un nonabelian grupo $G$ tal que todas sus representaciones irreducibles complejo finito-dimensionales son unidimensionales (tal grupo $G$ es necesariamente infinito, por supuesto)?

Answer 1

Si la "representación" significa "finito-dimensional de la representación", entonces resulta que usted puede encontrar nonabelian $G$ cuyo único representaciones son triviales!

Los grupos que han fieles lineal representaciones se denominan lineales, y un teorema debido a Malcev afirma que una finitely generado lineal grupo es residual finito. Tomando el contrapositivo, se deduce que un finitely generado grupo que no es residual finito no puede ser lineal. La inspección y la prueba de Malcev del teorema, se puede exprimir otro resultado: un finitely generado grupo en el que se admite una representación trivial admite un trivial mapa a un determinado grupo. Así que para encontrar un finitely generado grupo no trivial de las representaciones, es suficiente para encontrar un finitely generado grupo con ningún subgrupo de índice finito. El Higman grupo fue el primero conocido de tales grupos.

Tenga en cuenta también que si $G$ es residual finito, entonces el no $G$ es finitely generado es cierto que $G$ es abelian iff sus finito-dimensional irreductible representaciones son todos los $1$-dimensiones (ejercicio). Muchos grupos familiares son residual finito, por lo que este reglamento ejemplos que son demasiado fáciles.

Otra estrategia para la construcción de los ejemplos es encontrar infinito simple grupos con cardinalidad estrictamente mayor que el de $\mathbb{R}$ (la misma que la cardinalidad de a $\text{GL}_n(\mathbb{C})$), ya que cualquier trivial finito-dimensional representación de un grupo es necesariamente fiel. Los ejemplos incluyen la $\text{PSL}_3(F)$ donde $F$ es un campo de cardinalidad estrictamente mayor que $\mathbb{R}$.

No estoy seguro de cómo tratar con dimensiones infinitas representaciones irreducibles.