Suma de enteros consecutivos con diferentes pasos

Question

Primer lugar: para principiantes aquí, lo siento si esto es trivial.

Sabemos que $ 1+2+3+4+\ldots+n = \dfrac{n\times(n+1)}2 $.

Mi pregunta es: ¿Si en lugar de 1, pasamos por un número arbitrario, dicen 3 o 11? $ 11+22+33+44+\ldots+11n = $ ? Lo he comprendido a la fórmula habitual es que el primer número más el último es igual al segundo número y segundo a último, y así sucesivamente. En este caso, esto también es cierto, pero parece que no puedo encontrar una manera de generalizarlo.

Answer 1

Esta una cuestión de notación.

$1+2+3+4+\dots+n$ es una notación para $\sum_{k=1}^n k$

Supongo que el $11+22+33+44+\dots+11\times n$ es una notación para $\sum_{k=1}^n 11\times k$

en este caso, usted acaba de obtener: $$ \sum_{k=1}^n 11\times k = 11 \times \sum_{k=1}^n k = 11 \frac{n(n+1)}{2}$ $

con cualquier $M=3$ o $11$, tiene $\sum_{k=1}^n M\times k= M \times \sum_{k=1}^n k$

Answer 2

La fórmula general se deriva de la simple.

La secuencia general es $$a=a-b+b,a+b=a-b+2b,a+2b,\cdots a-b+nb,$$ i.e. $n $ terms from $ $ to $ a + (n-1) b = a + c$.

Entonces

$$\sum_{k=1}^n(a-b+kb)=n(a-b)+\frac{n(n+1)}2b=n\frac{a+a+(n-1)b}2=n\frac{a+c}2.$$

---

$11$ $11n$ % Pasos $11$,

$$n\frac{11+11n}2=11\frac{n(1+n)}2.$$

Answer 3

Usted consigue lo que se llama una serie aritmética. Más detalles están en https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression .

Answer 4

Supongamos que tiene una secuencia de %#% $ #%

Tengamos en cuenta $$x, x+a, x+2a, x+3a, ..., x+na.$$$S = \sum_{i=0}^n (x+ia).$$ Then by the trick you mentioned, we see that $$S+S = (2x+na)+(2x+na)+...+(2x+na) = (n+1)(2x+na).$% $ $ Hence $

Answer 5

La clave aquí es mirar las diferencias de constant(!). En $1+2+3+4+...n$ es $d=1$, y el último número, llama al primer número $a$, $a+(n-1)*d=1+n-1=n$. En el ejemplo siguiente la diferencia es $d=11$ y $a=11$ tienes el último número $a+(n-1)*d=11+(n-1)*11 = 11n $ y la suma entonces puede ser computado analógicamente como el primer sumatorio.