Soy un estudiante de posgrado. Estoy escribiendo un artículo sobre la geometría y la teoría de la relatividad y tratando de empezar con la discusión de las ideas básicas de la topología. En mi artículo he intentado muy duro para motivar a la idea de topología y hacer que sea natural tanto como sea posible. Mi plan en mi artículo es avanzar, a continuación, a partir de la topología de la geometría. Pero, sorprendentemente, no he podido encontrar en ningún libro he visto hasta el momento una clara distinción entre la topología y la geometría de dar un espacio topológico una distancia de la estructura(o una métrica de la estructura). La idea de imponer una medida de la estructura de un espacio topológico encaja perfectamente en el contexto de la geometría para los físicos. Pero, ¿cómo sería un matemático de hacer una distinción entre la topología y la geometría?, o en otras palabras, ¿cómo podemos definir una geometría topológica del espacio?. Alguna sugerencia para referencias o libros sería muy apreciada junto con sus comentarios.
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Me gusta pensar en la distinción entre la topología y la geometría utilizando la simetría, en el espíritu del programa de Erlangen. La idea es que te dan un objeto más de la estructura por ser más estrictas acerca de lo que consideran sus simetrías. Supongamos, por ejemplo, está haciendo una pregunta acerca de la $2$-esfera. Si la respuesta a su pregunta depende sólo de la homotopy o homeomorphism tipo de la esfera, entonces usted está haciendo topología. Si la respuesta es invariante bajo la diffeomorphism grupo de la esfera (muy grande, pero menor que el homeomorphism grupo), entonces usted está haciendo topología diferencial. Si la respuesta es sólo invariantes bajo el grupo de isometría - el finito dimensionales Mentira grupo $O(3)$ - entonces usted está haciendo geometría de Riemann. Por último, tal vez su pregunta es acerca de cómo la esfera interactúa con el número entero de celosía en $\mathbb{R}^3$; entonces usted está haciendo álgebra, y su grupo de simetría es probable que sea finito.
Esta forma de pensar no proporciona necesariamente una universal distinción entre la geometría y la topología; algunas de mierda métrica espacios de infinitas dimensiones isometría grupos. Pero está respaldada por los teoremas: por ejemplo, el grupo de isometría de cualquier colector de Riemann es un finito dimensionales Mentira grupo, mientras que el completo diffeomorphism grupo de infinitas dimensiones.
Este también está muy en línea con la forma en que los físicos piensan. El modelo estándar es en gran medida acerca de la caracterización y clasificación de partículas diminutas de acuerdo a sus simetrías. Teoría de Gauge es acerca de la relación que las simetrías de un sistema físico a sus leyes fundamentales. De hecho, el "general" en la teoría general de la relatividad de la realidad tiene que ver con la simetría: Einstein quería, quería que sus ecuaciones de campo para ser "generalmente covariante", es decir, se debe buscar el mismo en virtud de cualquier cambio suave de coordenadas, es decir, deben ser diffeomorphism invariante. De hecho, esto no es posible para la relatividad general, y esta es la razón por la geometría de Riemann y no topología diferencial es el lenguaje adecuado para describir.
La topología es parte de la general, el estudio de la geometría. Aproximadamente, la topología es el estudio de la estructura fina de un espacio métrico geometría es el estudio de las propiedades de un espacio en términos de distancias, y el grueso de la geometría es el estudio de la estructura a gran escala de un espacio. Un espacio métrico da lugar a una topología y una gruesa estructura. Se pasa de un espacio métrico con la topología inducida por el que pierde una gran cantidad de información, y en un sentido sólo conserva la fina estructura de escala. Del mismo modo, se pasa de un espacio métrico para el grueso de la estructura inducida por éste pierde una gran cantidad de información y conserva la estructura a gran escala.
