Cómo construir el homomorfismo de grupo de Lie $SU(2) \to SO(3)$ a través del isomorfismo del álgebra de Lie $\Lambda:{\frak su}(2)\to{\frak so}(3)$ ?

Question

El álgebra de Lie de $ \mathfrak{so(3)} $ y $ \mathfrak{su(2)} $ son respectivamente

$$ [L_i,L_j] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}L_k $$ $$ [\frac{\sigma_i}{2},\frac{\sigma_j}{2}] = i\epsilon_{ij}^{\;\;k}\frac{\sigma_k}{2} $$

Y por supuesto, existe un isomorfismo entre estas dos álgebras, $$ \Lambda : \mathfrak{su(2)} \rightarrow \mathfrak{so(3)} $$ tal que $ \Lambda(\sigma_i/2) =L_i $

Ahora es posible, utilizando $\Lambda$ para construir un homomorfismo de grupo entre $SU(2)$ y $SO(3)$ ?

Estaba comprobando Homomorfismo de grupo de Lie y en Wikipedia, hay una hermosa imagen

En el lenguaje de esta imagen, ¿cómo son $\phi$ y $\phi_*$ relacionados entre sí (al igual que el álgebra y los elementos del grupo).

Nota : Sé que hay un homomorfismo de uno a dos entre estos dos grupos que se puede encontrar directamente usando los elementos del grupo. No estoy buscando esto.

EDITAR 1 : En $ SL(2,\mathbb{R}) $ los generadores, digamos $X_1,X_2,X_3$ obedecen a las siguientes reglas de conmutación:

$$ [X_1,X_2] = 2X_2 $$ $$ [X_1,X_3] = -2X_3 $$ $$ [X_2,X_3] = X_1 $$

Y en el caso de $ SO(3) $ con una base diferente, $ L_{\pm} = L_1 \pm i L_2 $ y $ L_z = L_3 $ siendo los conmutadores,

$$ [L_z,L_{\pm}]= \pm L_{\pm} $$ $$ [L_+,L_-]= 2 L_z $$

Esta álgebra es muy parecida al álgebra de la anterior, entonces ¿por qué no podemos definir un mapa?

EDITAR 2 :

Puede el homomorfismo de grupo entre estos dos grupos escribirse así (Algo parecido a lo que esperaba) : $$ R = \exp(\sum_k i t_k L_k) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{\sigma_k}{2}\right) = \exp\left(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\right) $$

Ahora parece que este es el mapa $\phi$ ,

$$ R = \phi(U) = \exp\bigg(\sum_k i t_k \frac{1}{2}ln(U_k)\bigg) $$

Answer 1

Primero observe que los generadores son $-i\sigma_k/2$ y $-iL_k$ ya que los grupos son real grupos de Lie y, por tanto, el tensor de estructura debe ser real .

La respuesta a su pregunta es positiva. En principio basta con tomar la exponencial del isomorfismo del álgebra de Lie y surge un homomorfismo suryente de grupo de Lie de esta manera $\phi : SU(2)\to SO(3)$ : $$\phi\left(\exp\left\{-\sum_k t^k i\sigma_k/2\right\}\right) =\exp\left\{-\sum_k t^k iL_k\right\}\:.$$ La cuestión es que uno debe estar seguro de que el argumento del lado izquierdo cubre todo el grupo. Para el caso considerado, esto es cierto porque $SU(2)$ es compacto.

Si en cambio se consideran grupos de Lie no compactos, como $SL(2,\mathbb C)$ la exponencial no cubre el grupo. Sin embargo, es posible demostrar que los productos de los exponenciales sí lo hacen. En ese caso basta con un producto de dos exponenciales, en la práctica descomponiendo un elemento de $SL(2,\mathbb C)$ mediante la descomposición polar, matemáticamente hablando, o como producto (único) de una rotación y un impulso físicamente hablando.

Answer 2

Así que entiendo que es claramente consciente de que el gran A Representación adjunta es el homomorfismo que se busca en este caso, por lo que se busca un método más general.

Además, asumo que sabes que el homomorfismo de las álgebras de Lie sólo puede elevarse a un homomorfismo de grupo si el dominio del homomorfismo es simplemente conexo, en cuyo caso hay un único homomorfismo de grupo con el homomorfismo de álgebra dado como su mapa de mentiras . En este caso, estamos en el claro porque $SU(2)$ está simplemente conectado. Páginas 73 a 76 de:

Anthony Knapp, "Grupos de Lie más allá de una introducción"

puede ayudarle. Knapp te da dos métodos para construir sistemáticamente el grupo de Lie simplemente conectado: el primero te deja con ecuaciones diferenciales para los campos vectoriales invariantes izquierda/derecha, el segundo creo que es el mismo que V. Respuesta de Moretti .

Un último "método" es utilizar el teorema de Ado, que nos asegura que siempre podemos realizar un álgebra de Lie como un álgebra de Lie matricial; incluso existe un algoritmo de software explícito para ello:

W. A. De Graaf, "Constructing Faithful Matrix Representations of Lie Algebras"

pero si puedes entender este algoritmo, lo estás haciendo mejor que yo (este documento me ha derrotado hasta ahora). Una vez que se tiene un álgebra matricial, se puede utilizar la exponencial matricial para construir una vecindad de la identidad, incluso el grupo entero si éste es compacto; como en V. Respuesta de Moretti el álgebra de Lie no es exponencial del grupo entero para los grupos no compactos (hasta donde yo sé, el problema de qué es exactamente lo que en un grupo de Lie no compacto puede realizarse como exponencial de un elemento del álgebra de Lie es hasta cierto punto todavía un problema abierto).

Así que, una vez que se tiene el grupo de Lie, en principio se puede construir la cubierta universal con clases de homotopía y tallar el centro discreto $\mathcal{Z}_d$ de la cubierta universal. Su grupo original tendrá como grupo fundamental el grupo cociente de $\mathcal{Z}_d$ y uno de sus subgrupos (normales).