Es cada uno de los poderes de un alojamiento ideal principal ideal?

Question

Quiero mostrar que cada uno de los poderes de un primer ideal es un principal ideal o tengo que pensar un contraejemplo?

Answer 1

Sólo para aclarar esto de la lista de preguntas sin respuesta, aquí está una de la pulpa de la versión de la contraejemplo en la Wikipedia:

Considerar el ideal de $P=(x,z)$$k[x,y,z]/(xy-z^2)$. Voy a indicar la equivalencia de los elementos de este anillo por $\equiv$ y equivalencia en el ring $k[x,y,z]$ por $=$. $P$ es primo, ya que $$\frac{k[x,y,z]/(xy-z^2)}{(x,z)}\cong \frac{k[x,y,z]}{(x,z,xy-z^2)}\cong k[y]$$ es una parte integral de dominio. Sin embargo, $P^2=(x^2,xz,z^2)$ contiene $xy\equiv z^2$ pero no contiene $x$, como si $$x=fx^2+gxz+hz^2+p(xy-z^2)$$ a continuación, ajuste de $x=0$ muestra que $h-p=qx$, por lo que $$x=fx^2+gxz+pxy+qxz^2=(fx+gz+py+qxz)x\implies fx+gz+py+qxz=1$$ que se puede ver a ser imposible por la evaluación en $x=y=z=0$. Asimismo, no contiene $y^n$ cualquier $n$, como si $$y^n=fx^2+gxz+hz^2+p(xy-z^2)$$ a continuación, ajuste de $x=z=0$ da una contradicción. Por lo tanto $P^2$ es una potencia de un primo que no es principal.