En los factores principales con $n^2+n+1$

Question

Muéstrame eso: Hay infinitamente muchos números enteros positivos $n$ de tal manera que todos los principales divisores de $n^2+n+1$ no son mayores que $c\cdot n^{0.8}$ donde $c$ es constante.

Tal vez esto $0.8$ ¿No es la mejor constante? ¿Puedes encontrar el número más pequeño? Esto es (concurso de matemáticas de la Universidad de Pekín)

Answer 1

De hecho, uno puede tomar $0.8$ arbitrariamente pequeño! Deje que $\alpha>0$ . Entonces, desde $\prod_{p\text{ prime}} \big(1-\tfrac1p\big) \to 0$ se puede elegir un número entero $r$ compuesto de muchos pequeños primos tales que $\tfrac{\phi(r)}{r} \le \tfrac\alpha2$ y así $\phi(3r) \le 2\phi(r) \le \alpha r$ .

Si elegimos $n = m^r$ para algunos $m > 1$ Entonces $n^3 - 1 = m^{3r}-1$ en el producto de los polinomios ciclotómicos $\Phi_d(m)$ para cada uno $d$ dividiendo $3r$ . Cada polinomio $\Phi_d$ tiene un título $\phi(d)$ que divide $\phi(3r) \le \alpha r$ así que cada factor $\Phi_d(m)$ tiene un tamaño máximo $C m^{\alpha r}$ donde $C$ depende de los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos $\Phi_d$ . Por lo tanto, cualquier factor principal de $n^3-1 = (n^2+n+1)(n-1)$ no puede ser más grande que $Cm^{\alpha r} = Cn^\alpha$ .

Para $\alpha = 0.8$ podemos simplemente elegir $r = 10$ para que $\phi(3r) = 8 = \alpha r$ . Mirando los polinomios ciclotómicos hasta $30$ muestra que podemos tomar cómodamente $C=5$ (en general podemos utilizar $C = 1+o(1)$ tomando $m$ lo suficientemente grande, ya que $\Phi_d$ es monic).