La determinación de una matriz a partir de su polinomio característico

Question

Deje $A\in\mathcal{M}_{n}(K)$ donde $K$ es un campo. Entonces, podemos obtener el polinomio característico de a $A$ simplemente tomando $p(\lambda)=\det(A-\lambda I_n)$, lo que nos da algo como

$p(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\text{tr } A)\lambda^{n-1}+\ldots+\det A.$

Ahora, ¿cómo podemos obtener la matriz de $A$ sabiendo que el polinomio característico?

Saludos

Answer 1

Cualquier similar de dos matrices $B = P A P^{-1}$ tienen el mismo polinomio característico. También se $A$ $A^T$ tienen el mismo polinomio característico.

Mientras que la matriz de $A$, lo que ha dado un polinomio característico no es el único, es a menudo conveniente elegir un superior de la matriz de Hessenberg llamado (Frobenius) compañero de la matriz o de sus (inferior Hessenberg) transponer.

Es decir, el $n\times n$ matriz:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -c_{n-1} \end{bmatrix}$$

ha polinomio característico $p(x) = x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$.

Un enfoque a la búsqueda de las raíces de un polinomio es aplicar autovalor solucionadores para el compañero de la matriz para el polinomio.

Answer 2

Si $A$ $S$ $n\times n$ matrices, con $S$ invertible, entonces a $A$ $SAS^{-1}$ tienen el mismo polinomio característico. Pero incluso los que no son similares matrices tienen el mismo polinomio característico: considerar la posibilidad de $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Así que usted no puede encontrar la matriz de tener un determinado polinomio característico.

Answer 3

No hay ninguna manera se puede determinar la matriz de su polinomio característico debido a que el polinomio característico es determinado por $n$ números y la matriz por $n^2$ números.

Answer 4

Si se aplica cualquiera de cambio de base de la matriz a una matriz dada, el recién formado de la matriz tienen el mismo polinomio característico. Así que hay infinitamente muchas matrices con cualquier polinomio característico.