¿Por qué estos dos espacios no son homeomórficos?

Question

Considere $\Bbb Q$ con topología de subespacio y $\Bbb Q\times \Bbb Q$ con la topología del producto. ¿Por qué estos dos espacios no son homeomorfos?( $\Bbb Q$ son los números racionales)

Answer 1

Es un teorema de Sierpinski que todo espacio métrico contable sin puntos aislados es homeomorfo a $\mathbb{Q}$ . Ver por ejemplo aquí . $\mathbb{Q}^2$ es un espacio métrico contable sin puntos aislados. Por lo tanto, estos dos espacios son homeomórficos.