Conexión entre $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ y $\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$

Question

¿Hay alguna forma de derivar la segunda ecuación a partir de la primera? Es decir, ¿hay alguna conexión entre esas dos relaciones de incertidumbre?

\begin {align} \Delta x \Delta p & \geq \frac { \hbar }{2} \\ \Delta E \Delta t & \geq \frac { \hbar }{2} \end {align}

Answer 1

El principio de incertidumbre puede verse como un resultado del espacio $x$ y el impulso $p$ siendo un Par de transformadas de Fourier . La función de onda de la partícula libre tiene, de forma similar a la exponencial $e^{-\frac{i}{\hbar} px}$ un exponencial $e^{-\frac{i}{\hbar} E t}$ . Por lo tanto, se podría esperar una relación de incertidumbre similar para el par de variables $(E, t)$ . Un resultado inmediato es que las soluciones con una energía perfectamente definida, soluciones de $\hat H \psi = E \psi$ son estacionarios, es decir, su contenido físico no cambia con el tiempo.

Sin embargo, esto es poco preciso. La incertidumbre teórica (mínima) de dos variables cualesquiera puede expresarse mediante su conmutador (véase Wiki ) $$ \sigma_A \sigma_B \geq \big \langle [ \hat A, \hat B ] \big\rangle $$ Lo difícil es encontrar un operador que represente el tiempo, ya que la mecánica cuántica no relativista trata el tiempo sólo como un parámetro.

Para los estados inestables, hay una forma de derivar la incertidumbre que das donde $t$ no es el tiempo en general sino el tiempo de vida del estado, dando así una explicación a la anchura natural de líneas espectrales . La derivación (en resumen) se puede encontrar en la página wiki arriba enlazada.

Answer 2

Tenga en cuenta que se trata de un autoconvolución (la convolución de una secuencia consigo misma) de $\binom{2k}{k}$ . Podemos determinar que la función generadora de $\binom{2k}{k}$ es

$$\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} x^k=\frac1{\sqrt{1-4x}}$$

La función generadora de la autoconvolución se obtiene entonces elevando al cuadrado la función generadora original. Así, hay que determinar los coeficientes de la función $\dfrac1{1-4x}$ ...que puede ser refundido como una serie geométrica...

Answer 3

La relatividad especial tiene cuatro vectores $(\Delta t,\Delta \mathbf{r})$ y $(E,\mathbf{p})$ Así que nos gustaría que hubiera una analogía directa entre estas dos relaciones de incertidumbre. De hecho, la analogía falla, porque la posición es un operador en la mecánica cuántica, pero el tiempo no lo es. Peierls tiene una buena discusión sobre esto en Surprises in Theoretical Physics, pp. 36-37:

...el tiempo no es un observable. Una medición del tiempo en sí misma no transmite ninguna información sobre un sistema físico, y una afirmación sobre cualquier otra cantidad física suele implicar que estamos hablando de su valor en en un momento determinado. En el caso de una cantidad conservada, como la energía de un sistema aislado, el resultado da también la energía en cualquier momento. A Landau le gustaba señalar este punto diciendo: "No hay Evidentemente, no existe tal limitación: puedo medir la energía y mirar mi reloj. mi reloj; ¡entonces conozco tanto la energía como el tiempo!"

Así que la relación de incertidumbre energía-tiempo tiene una interpretación fundamentalmente diferente a la de la relación momento-posición. En realidad, hay múltiples formas de interpretarla. Una de las interpretaciones se da en esta respuesta . Otra es que la relación de incertidumbre se mantiene si $E$ es la cantidad de energía transferida hacia o desde un sistema, y $t$ es el momento en que se produjo esa transferencia.