En el grupo de clase de un imaginario cuadrática campo de número de

Question

Deje $d < 0$ ser una plaza libre entero y deje $p_{1},\ldots p_{r}$ ser el primer divisores de $d$. Deje $K := \mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ y considerar la posibilidad de $P_{i} := (p_{i}, \sqrt{d}) \subset \mathcal{O}_{K}$. Entonces, las clases de $P_{1}, \ldots P_{r}$ generar un subgrupo de $Cl(K)$ isomorfo a $\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^{r−1}$.

(notaciones estándar: $Cl(K)$ denota el grupo de clase de $K$, mientras que el $O_{K}$ es el anillo de enteros)

Estoy teniendo problemas con este resultado que he oído pertenece a Gauss. No puedo encontrar una prueba. Alguien puede ayudar o proporcionar una referencia? Gracias!

Esto es muy interesante ya que nos llega la orden de $2$ en el número de clase en términos de número de primos divisores de la squarefree $d$.

Answer 1

Es mejor no considerar el cuadrado-libre entero $d$ directamente, sino $D_K$, el discriminante de $K$, lo que equivale a $d$ si $d \equiv 1 \bmod 4$, pero es igual a $4d$ lo contrario.

Racional prime $p$ es ramificado en $K$ si y sólo si $p | D_K$, y, a continuación, la afirmación correcta es que, si $\mathfrak p_i$ son los números primos de $K$ se encuentra por encima de la ramificado, primos $p_i$, entonces el primer ideales $\mathfrak p_i$ generar la $2$-torsión subgrupo de $Cl(K)$ (y aquí me refiero realmente a $2$-torsión, no $2$-potencia-torsión), y el rango de este subgrupo es $r-1$ (si $r$ es el número de números primos, es decir, el número de números primos dividiendo $D_K$). (Satisfacen la relación que su producto es igual a $\sqrt{D_K}\mathcal O_K$, que es lo principal, que es la razón por la que el rango es $r-1$ en lugar de $r$.)

Esta declaración es (parte de lo que es), conocida como la teoría de género, y (como se nota) es debido a Gauss (aunque reinterpretado en nuestro lenguaje moderno).

Un texto que explica esta teoría es Harvey Cohn Avanzado de la teoría de números.

Tenga en cuenta que no es un análogo de la teoría de la real cuadrática campos, pero es un poco más sutil, debido a la posible diferencia entre el grupo de clase y de la estricta grupo de clase, y la presencia de no-trivial unidades.

[Añadido: En respuesta a la pregunta en un comentario anterior, para demostrar que cualquier adecuada del producto de la $\mathfrak p_i$s no es principal, el uso de un argumento con normas. Esto muestra que el rango del subgrupo generado por la $\mathfrak p_i$ es $r-1$, y no más pequeño. Para ver que este todo el $2$-torsión es un poco más difícil.]

Answer 2

Si $\sigma$ es el elemento no trivial de los Gal$(K/Q)$, uno puede mostrar que $\sigma(P_i)P_i$ es generado por $p_i$. Más generalmente, $\sigma(\prod P_i)\prod P_i$ es generado por $\prod p_i$ para cualquier subconjunto de índices.

Ahora supongamos $\prod P_i=(a+b\sqrt{d})$. Tenemos $(\sigma(a+b\sqrt{d}))(a+b\sqrt{d})=(a^2-b^2d)=(a^2+|d|b^2)$. Esto genera el mismo ideal como $\prod p_i$ fib $a^2+|d|b^2 = \prod p_i$, ya que ambos son no racionales negativos enteros. Esta ecuación sólo puede ser resuelto si el producto está vacía, así que $a=\pm1, b=0$, o incluye todos los números primos, por lo que el $a=0,b=\pm1$.