La matriz de la restauración (modulo n)

Question

Deje $m,n\geqslant 2$, e $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb Z)$ tal que $\det A \equiv 1 \pmod m$.

No es (necesariamente) $M\in \mathrm{GL}_n(\mathbb Z)$ tal que $A\equiv M \pmod m$?

Answer 1

Mediante el uso de la Smith Forma Normal de $A$ uno puede asumir que los $A$ es diagonal con $d_1,\dots,d_n$ en la diagonal principal y $d_1\cdots d_n=1+mk$.
A continuación, tomar

$$M=\begin{pmatrix} d_1+mx & m & 0 & 0 &\dots & 0 & 0\\ 0 & d_2 & m & 0 &\dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & d_{n-1} & m\\ (-1)^{n+1}my & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & d_n \end{pmatrix}.$$ Claramente $$\det M=(d_1+mx)d_2\cdots d_n+m^ny=1+m(k+xd_2\cdots d_n+m^{n-1}y),$$ and since $\gcd(d_2\cdots d_n,m)=1$ one can find $x,y\in\mathbb Z$ such that $k+xd_2\cdots d_n+m^{n-1}y=0$.