Hace la siguiente ecuación sólo tiene 1 solución de $n=2$?

Question

Conjetura:

Si $$I=\frac{1}{1+p_{n+1}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}$$

(donde $p_n$ indica el $n$'th prime)

a continuación, $n=2$ es el único número natural por $n$ que hace $I$ un entero.

Todo lo que realmente entender que hacer es introducir los números en $n$. Más allá de eso, sin embargo, estoy en una pérdida.

He intentado usando el conocimiento de que

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}$$

Nunca es un número entero (por $n>1$), pero que realmente no llevan a ninguna parte.

Estoy buscando una prueba de mi conjetura.

Answer 1

Traer todas las fracciones con el mismo denominador y agregarlos a obtener :

$$\frac{A}{p_1p_2\ldots p_k(p_{k+1}+1)}$$

Tenga en cuenta que en el numerador $A$ el único número que no es divisible por $p_n$ $$(p_{n+1}+1)p_1p_2\ldots p_{n-1}$$

Pero por la expresión que ser un número entero debemos tener $p_n \mid A$, por lo que :$$p_n \mid p_{n+1}+1$$ but because $p_{n+1}>p_n$ it follows that : $$p_{n+1} \geq 2p_n-1$$

Ahora uso Bertrand postulado :

Hay un primer entre el $a$ $2a-2$ por cada $a \geq 3$ a ver que $p_n=2,3$ son las únicas soluciones y esto conduce para $n=2$ o $n=3$, pero sólo $n=3$ conduce a un entero .

Answer 2

Suponga $n\ge 3$.

Por el postulado de Bertrand, tenemos $1+p_{n+1}\le 2p_n$. Si $1+p_{n+1}<2p_n$ $p_n$ no se puede dividir $1+p_{n+1}$. De lo contrario, si $1+p_{n+1}=2p_n$, $p_2=3$ no divide $1+p_{n+1}$. (Este caso en realidad nunca sucede al $n>2$, pero es más fácil sólo para controlar todos modos). En cualquier caso no es un $p_j$ $j\le n$ tal que $p_j$ no divide $1+p_{n+1}$.

Por lo tanto, si se pone todo en común denominador $(1+p_{n+1})\prod_{k=1}^n p_k$, este denominador contiene exactamente un factor de $p_j$, y el único término en el numerador de la suma que no divisible por $p_j$ es la derivada de $1/p_j$; por lo tanto el numerador no es múltiplo de $p_j$, y la suma que por lo tanto no puede ser un número entero.