¿Cuanta elección se necesita mostrar que formalmente campos real se pueden pedir?

Question

Antecedentes: un campo es formalmente real si -1 no es una suma de los cuadrados de los elementos de ese campo. Un pedido en un campo es un lineal de pedido que es (exactamente en el sentido que usted supongo que si no has visto esto antes) compatible con las operaciones de campo.

Es inmediato ver que un campo que puede ser pedida es formalmente real. Lo contrario es un famoso resultado de Artin-Schreier. (Para un agraciado de la exposición, ver Jacobson Básicos de Álgebra. Para un no especialmente agraciado de la exposición que está disponible gratuitamente online, ver http://math.uga.edu/~pete/realspectrum.pdf.)

La prueba es ni largo ni difícil, pero que apela a la Lema de Zorn. Uno sospecha que la confianza en el Axioma de Elección es fundamental, porque un campo que es formalmente real puede tener muchas órdenes diferentes (loc. cit. da una breve introducción a la real del espectro de un campo, el conjunto de todos los ordenamientos dotados de una cierta topología de lo que es un compacto, totalmente desconectada espacio topológico).

Alguien puede dar una referencia o un argumento que AC es necesaria en el sentido técnico (es decir, hay modelos de ZF en el que es falso)? ¿Suponiendo que formalmente campos pueden ser ordenados a recuperar parte de la versión débil de la CA, por ejemplo, que cualquier álgebra de boole tiene un primer ideal? (O, lo que parece menos probable para mí, es equivalente a CA?)

Answer 1

Esto es equivalente (en ZF) para el teorema Ideal booleano de primer (que es equivalente a la lema del Ultrafilter).

Referencia: R. Berr, Delon F. J. Schmid, campos ordenado y el teorema de ultrafilter, fondo matemáticas 159 (1999), 231-241. en línea

Answer 2

Al menos, esto implica lo siguiente:

Deje que $f: A \B$ ser un mapa de conjuntos, donde cada fibra tiene cardinalidad $2$. Luego hay una sección de $f$.

Prueba: Supongamos $V$ los $\mathbb{R}$-espacio vectorial generado por los elementos de $A$, sujeto a la relación de $a_1 = - a_2$ siempre $f(a_1)=f(a_2)$. Deje de $S$ $\mathrm{Símbolo}(V)$ y $K$ $\mathrm{Frac}(S) de dólares.

Entonces $K$ es formalmente real (cualquier propuesta de la suma de cuadrados de sólo utiliza un número finito de elementos de $A$, por lo que podemos reducir, para el caso de un número finito de dimensiones de espacio vectorial, donde esto es obvio). Pero para elegir un orden, tenemos que decidir cuál de los dos elementos de cada fibra de $f$, será positiva y que va a ser negativo. Los elementos positivos de la forma de una sección.