$\frac{dS}{d\rho}$ Factor de derivadas

Question

Para obtener más detalles, visite: ecuaciones 29,30,31,34,44,50,51

Hemos conocido algunos onda solitaria soluciones, dada por(ecuaciones 1 a 5) $$ \phi_1=p_1\cos \tau \etiqueta{1}$$ $$\phi_2=\frac16 g_2p_1^2\left(\cos(2\tau)-3\right)\tag{2}$$ $$\phi_3=p_3\cos \tau+\frac{1}{72}(4g_2^2-3\lambda)p_1^3\cos(3\tau)\tag{3}$$ $$\phi_4= \frac{1}{360}p_1^4\left(3g_4-5g_2\lambda+5g_2^3\right)\cos(4\tau) -\frac{1}{72}\left(8g_2(\nabla p_1)^2-12g_4p_1^4+16g_2^3p_1^4 -24g_2p_1p_3-23g_2\lambda p_1^4-8g_2p_1^2\right)\cos(2\tau) -g_2p_1^2-g_2p_1p_3+\frac{1}{6}g_2\lambda p_1^4-g_2(\nabla p_1)^2 +\frac{31}{72}g_2^3p_1^4-\frac{3}{8}g_4p_1^4 \etiqueta{4}$$ \begin{equation} p_5=\frac{\sqrt 2}{9\sqrt 3}\left( Y-\frac{1235}{32}S^2Z+\frac{1503}{16}Z-24S-\frac{17}{3}S^3 +\frac{11525}{384}S^5\right) \end{equation} Ahora vamos a configurar los $\tau=0$ en estos ecuación anterior. Ahora a considerar algunas condiciones:

1. $$S=p_1\sqrt{\lambda}$$
2. \begin{equation} p_3=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\left( \frac{65}{8}Z-\frac{8}{3}S-\frac{19}{12}S^3 \right)\,. \end{equation} 3.valor de algunas constantes $g_2=-\frac32$, $g_3=\frac12$ y $g_i=0$ $i\geq 4$ ,$ \lambda= \frac{3}{2}$

y las ecuaciones de simetría esférica

1. \begin{equation} \frac{d^2S}{d\rho^2}+\frac{D-1}{\rho}\,\frac{dS}{d\rho} -S+S^3=0 \end{equation}

Ahora necesito escribir las ecuaciones (4)y (5) como $$\phi_4^{(\tau=0)}=\frac{1}{9}\left[ \frac{65}{4}SZ+10\left(\frac{dS}{d\rho}\right)^2 +\frac{8}{3}S^2-\frac{125}{12}S^4 \right]$$ $$\phi_5^{(\tau=0)}=\frac{1}{9}\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggl[ Y-\frac{2275}{64}S^2Z+\frac{1503}{16}Z -\frac{15}{32}\left(\frac{dS}{d\rho}\right)^2 -24S-\frac{595}{96}S^3+\frac{11285}{384}S^5 \biggr]$$ Mi Problema es cómo el factor de $\frac{dS}{d\rho}$ surge en las dos ecuaciones de arriba? Para más información: ecuaciones 29,30,31,34,44,50,51 Si usted tiene problemas para entender las preguntas, a continuación, preguntar por favor. Gracias de antemano

Answer 1

Es debido a que el gradiente $\nabla S$ es sólo $\partial S/\partial \rho$ (debido a la simetría esférica), y $S$ es sólo un número constante de veces $p_1$. Ya que todo lo demás, excepto $p_3$ es una constante, que sólo se pueden conectar todo esto y obtener la respuesta.

Para la quinta ecuación de $\phi_5$, tomar ecuación 34 y el enchufe en el 47, y el uso de la forma esférica de gradiente como en el caso anterior.

Después de la multiplicación de fuera de la ecuación 34 y sustituyendo $\tau=0$, el único término con el gradiente es $\frac{12S(\nabla S)^2}{384\sqrt{\lambda}}$. Pero el uso de la forma esférica de gradiente y la fórmula para $\lambda$, esto es $\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{3S(\partial S/\partial \rho)^2}{96}$. Pero en la última ecuación de tu post, el término con el derivado se simplifica a $\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{5S(\partial S/\partial \rho)^2}{96}$. Porque están tan cerca, probablemente se trata sólo de un error tipográfico; ecuación 34 probablemente debería decir 15.

Tome su ecuación 34 y establecer $\tau=0$ y obtendrá $p_5+\frac{S^5}{1152\sqrt{\frac{3}{2}}}(\frac{4g_5}{3}+2)-\frac{S}{384\sqrt{\frac{3}{2}}}[(\frac{40g_5}{3}+2)SZ+12S^2-12(\partial S/\partial \rho)^2-(\frac{20g_5}{3}-2)S^4]$. Conectar para $p_5$, obtenemos $\frac{\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}(Y-\frac{1235}{32}S^2Z+\frac{1503}{16}Z-24S-\frac{17}{3}S^3+\frac{1125}{384}S^5)+\frac{S^5}{1152\sqrt{\frac{3}{2}}}(\frac{4g_5}{3}+2)-\frac{S}{384\sqrt{\frac{3}{2}}}[(\frac{40g_5}{3}+2)SZ+12S^2-12(\partial S/\partial \rho)^2-(\frac{20g_5}{3}-2)S^4]$.

Recopilación de términos semejantes, tenemos