Este es un pequeño ejercicio, he estado jugueteando con el por un tiempo ahora.
Deje $f\colon X\to Y$ $g\colon Y\to X$ funciones. Quiero mostrar que hay subconjuntos $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$ tal que $f(A)=B$$g(Y-B)=X-A$.
Por supuesto, si $f$ es surjective, y luego tomar las $A=X$, uno ha $f(A)=B=Y$$g(Y-Y)=g(\emptyset)=\emptyset=X-X=X-A$, y listo. Así que supongo que $f$ no es surjective.
He intentado acercarse a él por la contradicción. Parece que para cualquier $A\subseteq X$, es evidente que hay un $B\subseteq Y$ tal que $f(A)=B$, por lo que si el resultado no es el caso, para cada par de subconjuntos $A$$f(A)$, debemos tener $g(Y-f(A))\neq X-A$. A continuación, para cada $f(A)\subseteq Y$, existe un $y\in Y-f(A)$ tal que $g(y)\notin X-A$. Esto implicaría $g(y)\notin X \lor g(y)\in A$, pero desde $g(y)\in X$, debemos tener $g(y)\in A$.
La única cosa que puedo deducir de esto es que $g$ es surjective, ya que para cualquier singleton $\{x\}\subseteq X$, a continuación, encontramos un $y\in Y-\{f(x)\}$ tal que $g(y)=x$. Pero no acabo de ver cómo obtener una contradicción. Qué dirección debo cabeza? He intentado aplicar el hecho de que una monotonía de la función de conjuntos de poder tiene un punto fijo, sino que sólo parece aplicarse entonces la función de mapas a partir de un juego de poder en sí mismo. Gracias!
