Encontrar todos los impares $n \in \mathbb{Z}^+$ tal que $n\mid 3^n+1$.

Question

Encontrar todos los impares $n \in \mathbb{Z}^+$ tal que $n\mid 3^n+1$.

Creo que no existe tal $n$ con la excepción de $1$. Está claro que $n$ no puede ser un múltiplo de $3$. También, $3^n \equiv -1 \pmod n$. Yo no soy capaz de seguir adelante. Podría dar algunos consejos sobre cómo hacerlo?

Gracias.

Answer 1

No hay tal $n$, con la excepción de $1$.

Prueba: Supongamos $n$ ser un número impar, mayor que $1$, de tal manera que $n$ divide $3^n + 1$. A continuación, $n$ es el primer a $3$.

Deje $p$ ser el menor divisor primo de $n$, y deje $m$ ser el orden de $3$ modulo $p$, es decir, $m$ es el menor entero positivo tal que $3^m \equiv 1 \mod p$. Está claro que $m \mid p - 1$, por lo tanto $m$ es el primer a $n$.

Desde $3^{2n} \equiv 1 \mod p$,$m \mid 2n$, lo que conduce a $m \mid 2$. A partir de aquí una contradicción es evidente.

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Yo creo que este problema está inspirada en una anterior: no hay ningún número entero positivo $n > 1$ tal que $n \mid 2^n - 1$.

Answer 2

Supongamos que $p\ge 5$ es el menor divisor primo de $n$. De ello se desprende que $\gcd(p-1, n)=1$$p|n|3^n+1|3^{2n}-1$. Por otro lado el uso de Fermat poco teorema de uno se $p|3^{p-1}-1$, por lo$$p|\gcd(3^{p-1}-1, 3^{2n}-1)=3^{\gcd(p-1, 2n)}-1=2 ,8$$Contradicción.