¿Es exacta la ley de Coulomb para las cargas en movimiento?

Question

¿Podemos utilizar Ley de Coulomb para calcular la fuerza entre dos cargas que no están en reposo? Si no es así, ¿qué fórmula hay que utilizar para calcular la fuerza? Lo he buscado, pero no he encontrado una respuesta clara.

Answer 1

La ley de Coulomb no es precisamente cierta cuando las cargas se mueven: las fuerzas eléctricas dependen también de los movimientos de las cargas de forma complicada. Una parte de la fuerza entre cargas en movimiento la llamamos fuerza magnética. En realidad es un aspecto del efecto eléctrico. Por eso llamamos al tema "electromagnetismo".

Existe un importante principio general que permite tratar las fuerzas electromagnéticas de forma relativamente sencilla. A partir de la experimentación, descubrimos que la fuerza que actúa sobre una carga concreta -no importa cuántas cargas haya o cómo se muevan- depende sólo de la posición de esa carga concreta, de la velocidad de la carga y de la cantidad de carga. Podemos escribir la fuerza $\mathbf{F}$ en una carga $q$ moviéndose con una velocidad $\mathbf{v}$ como $$\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right)\,.$$
Llamamos $\mathbf{E}$ el campo eléctrico y $\mathbf{B}$ el campo magnético en el lugar de la carga. 1

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Créditos: 1 Conferencias Feynman sobre Física-II.

Answer 2

Supongamos que en algún marco de referencia S, tenemos dos estacionario partículas cargadas, $q_1$ y $q_2$ . La fuerza experimentada por la primera partícula debido a la segunda viene dada por

$$\textbf{F}_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r^2_{12}} \hat{r}_{12}\,,$$

donde $k$ es la constante de Coulomb, $q_i$ es la carga de la partícula respectiva, $r_{12}$ es la distancia entre las dos partículas, y $\hat{r}_{12}$ es el punto del vector radial unitario desde la partícula 2 a la partícula 1.

Como se hace comúnmente en la mayoría de los libros de texto de electromagnetismo, entonces tiene sentido introducir el vector campo eléctrico, definido como la "fuerza por unidad de carga". En el mismo marco S, la partícula estacionaria (en la posición $\textbf{r} = \textbf{0}$ ) con carga $q$ crea el campo eléctrico

$$\textbf{E}(\textbf{r}) = k \frac{q}{r^2} \hat{r} \, ,$$

donde $r = ||\textbf{r}||$ y $\hat{r} = \frac{\textbf{r}}{||\textbf{r}||}$ .

Con un poco de magia (es broma, todo matemáticas), es posible demostrar que esta afirmación es equivalente a la ley de Gauss:

$$\oint_\Sigma \textbf{E} \cdot d\textbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \, .$$

Se entiende que el campo se integra sobre una superficie cerrada $\Sigma$ y que $Q_{\text{enc}}$ es la cantidad de carga situada dentro de dicha superficie.

Resulta que la primera supuesta "definición" del campo eléctrico sólo es cierta para el marco o marcos en los que la partícula está inmóvil. Para otros marcos, es necesario aplicar las transformaciones estándar de la relatividad especial. El enfoque más conveniente es reconocer que la carga es un invariante (es decir, no cambia bajo una transformación de Lorentz). Esto implica que la ley de Gauss es cierta para todo marcos de referencia. Las únicas cantidades que se transforman son el campo eléctrico y la superficie de integración:

$$\oint_{\Sigma'} \textbf{E}' \cdot d\textbf{A} = \oint_\Sigma \textbf{E} \cdot d\textbf{A}\,.$$

Gracias de nuevo a la relatividad especial, podemos demostrar que una partícula en movimiento debe generar un campo magnético en algunos marcos de referencia. Las expresiones finales para los campos eléctricos y magnéticos generales para un marco de referencia en el que la partícula se mueve con una velocidad y aceleración arbitrarias son complicadas, pero no obstante se puede calcular .

Aplicando estos campos junto con la ley de fuerza de Lorentz,

$$\textbf{F} = q(\textbf{E} + \textbf{v} \times \textbf{B})\,,$$

podemos encontrar las trayectorias de ambas partículas. Sin embargo, estas trayectorias son bastante complicadas y hay que simularlas en un ordenador.

TL;DR - No, en cierto sentido la ley de Coulomb no se puede aplicar al movimiento de dos partículas cargadas que interactúan.

Answer 3

Como ya han dicho muchos en su respuesta, si te preguntas cuál es la fuerza entre dos partículas cargadas cualesquiera que tengan unas velocidades en algún momento en el marco de referencia del laboratorio, entonces lo que encuentras es la fuerza de Lorentz: $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ .

Ahora bien, el problema es cuando se intenta resolver la dinámica de dicho sistema porque resulta que la fuerza de Lorentz no es recíproco es decir, no satisface la tercera ley de Newton ( $\mathbf{F}_{12} \neq - \mathbf{F}_{21}$ ).

Esto está muy bien explicado aquí (con animaciones y todo).

Esto ya fue descubierto por Poincare y le desconcertó durante un tiempo hasta que se dio cuenta de que la razón de esta violación era porque no estábamos contabilizando las variaciones del tensor de momento-energía del propio campo electromagnético.

Por lo tanto, si se quiere resolver de forma real este problema dinámico, se trata de un problema muy complejo en el que hay que resolver el campo electromagnético al mismo tiempo que las posiciones y los momentos de sus dos partículas.

Ahora bien, resulta que si sólo te interesan las propiedades estadísticas de un conjunto (clásico) de cargas (en equilibrio termodinámico), entonces se puede demostrar que basta con considerar sólo la interacción de Coulomb entre cargas; así que en cierto modo, dependiendo de lo que quieras hacer, sí Coulomb puede ser suficiente, de lo contrario se vuelve muy complicado.

Answer 4

La fuerza de Lorentz actúa sobre la carga $$F = q(E+v\times B)$$

Si la carga se mueve en un campo eléctrico uniforme $E$ No habrá $B$ y la fuerza es $F = qE$ . En el caso de un campo eléctrico no uniforme (por ejemplo, una carga puntual), el campo eléctrico en la carga cambiará en el tiempo y, por tanto, por la ley de Ampere, a $B$ será inducido. Pero normalmente (en los casos no relativistas) el inducido $B$ será insignificante.