Racional Raíces de Riemann $\zeta$ Función

Question

Un vistazo a los primeros ceros $$14.134725,21.022040,25.010858,30.424876,32.935062,37.586178,\dots$$ está de acuerdo con

Numérico de la evidencia sugiere que todos los valores de $t$ (la parte imaginaria de una raíz de $\zeta$) que corresponden a los ceros no triviales son irracionales (por ejemplo, Havil 2003, pág. 195; Derbyshire, 2004, pág. 384).

(números y cita tomada de aquí). ¿Cuáles son los intentos para demostrar que todos los valores de $t$ son irracionales? Significaría algo para la distribución de los números primos, si uno, algunos o un montón de raíces racionales $\frac{1}{2}+i\frac{q}{r}$ existen?

Answer 1

En realidad, la racionalidad o la irracionalidad de la de Riemann ceros no tienen sutil influencia en la distribución de los números primos. En la teoría analítica de números, este sub-tema va bajo el nombre de "Oscilación Teoremas'. Un ejemplo se puede encontrar en el (excelente) libro "Multiplicativo de la Teoría de los números" por Montgomery y Vaughan. Corolario 15.7 dice que si las ordenadas $\gamma>0$ de la de Riemann ceros son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$, luego $$ \limsup_{x\to\infty}\frac{M(x)}{x^{1/2}}=+\infty $$ y $$ \liminf_{x\to\infty}\frac{M(x)}{x^{1/2}}=-\infty. $$ Aquí $M(x)$ es el summatory función de Möbius $\mu$ función de: $$ M(x)=\sum_{n<x}\mu(n). $$ La conexión es, por supuesto, la fórmula explícita.

Edit: Como un segundo ejemplo, Rubinstein y Sarnak mostrar (a grandes rasgos) que en virtud de la definición de la integral Hypotheis y la asunción de los ceros son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$, que $$ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\log(x)}\sum_{\substack{n<x\\\pi(n)\ge \text{Li}(n)}}\frac{1}{n}=0.00000026 $$ así como otros resultados, en su papel de Chebyshev del Sesgo.

Answer 2

Es muy fácil hacer conjeturas de que algunos números son irracionales (como principio general, es una buena apuesta que algo es irracional menos que exista una buena razón para que sea racional), pero con un par de excepciones, es muy difícil de probar. AFAIK no hay ninguna razón para cualquiera de los ceros no triviales para tener racional $t$, pero no hay esperanza razonable de probar cualquiera de estos $t$ a ser irracional.

Answer 3

Al mejor de mi conocimiento, de la racionalidad de la parte imaginaria de uno/algunos/todos de la no-trivial de los ceros de zeta no tendría consecuencias para la distribución de los números primos. Por otro lado, la irracionalidad de la parte real de uno solo de estos ceros sería otra cosa completamente!

Answer 4

A. M. Odlyzko en los ceros no triviales de la función zeta:

"Vamos a escribir... $$\rho_{n}=1/2+i\gamma_{n}$$ ...No se sabe nada acerca de la $\gamma_{n}$, pero se cree que son propensos a ser trascendental números, algebraicamente independiente de cualquier número razonable de que nunca han sido tenidos en cuenta".

Answer 5

Hubo algunos intentos recientes para ver qué se puede hacer con la tecnología actual, ver

http://arxiv.org/abs/1109.1788

http://arxiv.org/abs/1208.2684

Pero como pueden ver, estamos todavía muy lejos de ser capaz de demostrar que el cero de $\zeta(s)$ es irracional.

Si había un número finito de excepciones a la Hipótesis de Riemann y todos ellos habían racional imaginaria esto podría tener consecuencias sorprendentes para la distribución de los números primos (a partir de la fórmula explícita, no sería muy fuertes periodicidad de los fenómenos).