¿Alguien reconoce esta recursividad sastisfied por la Campana números?

Question

Yo derivados de una recursividad

$$B_n=\frac{1}{n}B_0+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\binom{n}{k}-(-1)^{n-k}\binom{n}{k-1}\right]B_k\tag{$*$}$$

que sé que debe ser satisfecho por los momentos de la unidad de distribución de Poisson ($B_n$ indica el $n$th momento), lo que viene a ser la Campana de los números. Tratando de comprobar que no me había arruinado la derivación busqué en internet para recursiones satisfecho por la Campana números con la esperanza de encontrar la anterior, sin embargo sólo he encontrado el estándar

$$B_n = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}B_k.$$

Estoy bastante seguro de que ahora que la derivación de $(*)$ está bien (también he calculado los primeros números obtenidos a partir de $(*)$,$B_0=1$, y son los primeros números de Bell). Así que ¿alguien reconoce la recursividad $(*)$? ¿Tiene un nombre, o, ¿usted sabe de una referencia que contiene? Gracias.

Edit: Encantados de dar la recompensa a cualquier persona que envía una prueba de que $(*)$ es (o no es) satisfechos por la Campana o números de referencia que contiene dicha prueba.

Answer 1

Se sabe que la Campana número $B_n$ satisfacer una recurrencia de la relación que implican los coeficientes binomiales:

$$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k \quad\text{ for } n \in \mathbb{N}\tag{*1}.$$

Dada la secuencia de las $( a_n )_{n \in \mathbb{N}}$, podemos generar otra secuencia $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mediante la siguiente transformación:

$$b_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} a_k \tag{*2a}$$

Esto se conoce como el binomio de transformación y tiene una inversa de la transformación de la forma:

$$a_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k\tag{*2b}$$

Compare $(*1)$$(*2b)$, la recurrencia de la relación $(*1)$ es realmente la inversa de la transformación por la relación:

$$\begin{align} B_n &= \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} B_{k+1} = B_{n+1} - n B_n - \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{n-k} \binom{n}{k-1} B_k\\ \iff n B_n &= (B_{n+1} - B_n) - \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{n-k} \binom{n}{k-1} B_k \end{align} $$ Sustituto $(*1)$ en la última expresión, obtenemos $$\begin{align} n B_n &= B_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} B_k - \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{n-k} \binom{n}{k-1} B_k\\ &= B_0 + \sum_{k=0}^{n-1}\left[ \binom{n}{k} - (-1)^{n-k}\binom{n}{k-1}\right] B_k \end{align} $$ Por lo que la recurrencia de la relación en cuestión es nada realmente nuevo, pero la recurrencia de la relación $(*1)$ escondido detrás de un binomio transformar.

Answer 2

Desde que soy muy perezoso, me acabo de computa $$R_n=\frac{1}{n}B_0+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\binom{n}{k}-(-1)^{n-k}\binom{n}{k-1}\right]B_k-\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}B_k$$ and effectively found that $R_n=0$ for any positive value of $$n