Un resultado de Dedekind dice que para cualquier polinomio $p \in \mathbb{Z}[x]$ y cualquier prime $q$ no dividir el discriminante de $p$, entonces si $p$ factores modulo $q$ en un producto de polinomios irreducibles con grados $d_1, \ldots, d_r$, entonces el grupo de Galois $\text{Gal}(p)$ contiene una permutación con la estructura del ciclo de $(d_1, \ldots, d_r)$.
El discriminante de la Pentacci polinomio $p_5(x) := x^5 - (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$9584 = 2^4 \cdot 599$. Es irreductible modulo $5$ $\text{Gal}(p_5)$ contiene un $5$-ciclo. Modulo $3$, tenemos
$$p_5(x) \equiv (x^3 + x^2 + 2 x + 1) (x^2 + x + 2),$$ so $\text{Gal}(p_5)$ contains a product $\sigma$ of a $2$-cycle and a $3$-cycles and thus also the $2$-cycle $\sigma^3$. Now, if $r$ is prime, then a $2$-cycle and an $r$-cycle in $S_r$ together generate all of $S_r$, and in particular the Galois group of $p_5$ is $S_5$. Now, $S_n$ is only solvable iff $n \leq 4$, so the roots of $p_5$ no puede ser extraído con radicales.
Tito y Robert de respuestas utiliza un dedicado CAS comando para mostrar que $\text{Gal}(p_n) \cong S_n$$n \leq 12$, y fácilmente podemos utilizar Dedekind el resultado de extender este, digamos, $n \leq 20$.
Para el $13$-acci polinomio $p_{13}$, aplicando un argumento similar al de la $n = 5$ de los casos, y ahora en lugar de considerar los números primos $p = 5$ (lo que le da un $13$-ciclo) y $17$ (lo que le da un elemento $\sigma$ $\sigma^{11}$ una transposición), conduce a la conclusión de que $\text{Gal}(p_{13}) \cong S_{13}$.
Para el $14$-acci polinomio $p_{14}$, factoring modulo $5$ da un producto de $\sigma$ $4$- ciclo y un $9$-ciclo, por lo $\sigma^{18}$ es una transposición, y el factoring modulo $19$ da $13$-ciclo. Pero $p_{14}$ es irreductible (como es irreductible modulo $5$), por lo que su grupo de Galois es transitiva, y ser transitivo subgrupo de $S_n$ que contiene un $2$-ciclo y un $(n - 1)$-ciclo, $\text{Gal}(p_{14})$ es necesariamente $S_{14}$ sí.
Podemos manejar el resto de los casos de manera similar. Como en el anterior, $\sigma$ es un elemento con el ciclo de la estructura dada por Dedekind del resultado de la correspondiente prime:
$$\begin{array}{c|l}
n & p \\
\hline
15 & 11 \, (\sigma^5 \text{ a %#%#%-cycle}), \, 199 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle}) \\
16 & 5 \, (\sigma^6 \text{ a %#%#%-cycle}), \, 59 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle}) \\
17 & 3 \, (\sigma^{36} \text{ a %#%#%-cycle}), \, 5 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle}) \\
18 & 5 \, (\sigma^{26} \text{ a %#%#%-cycle}), \, 17 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle}) \\
19 & 3 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle}), \, 13 \, (\sigma^{33} \text{ a %#%#%-cycle}) \\
20 & 5 \, (\sigma^{66} \text{ a %#%#%-cycle}), \, 23 \, (\sigma \text{ a %#%#%-cycle})
\end{array}$$
